2点A(4, 0, 5)とB(0, 2, 1)を通る直線上の点のうち、原点Oとの距離が最小となる点をPとする。 (1) 直線ABと直線OPの間に成り立つ関係を予想せよ。 (2) 点Pの座標を求めよ。また、(1)で予想した関係が成り立つことを示せ。

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

2点A(4, 0, 5)とB(0, 2, 1)を通る直線上の点のうち、原点Oとの距離が最小となる点をPとする。

(1) 直線ABと直線OPの間に成り立つ関係を予想せよ。

(2) 点Pの座標を求めよ。また、(1)で予想した関係が成り立つことを示せ。

2. 解き方の手順

(1) 予想：

原点Oから直線ABに下ろした垂線の足がPであると予想される。つまり、直線ABと直線OPは直交する。

(2) 点Pの座標を求める：

直線AB上の点をパラメータ表示する。

$\vec{p} = (1-t)\vec{a} + t\vec{b} = (1-t)(4, 0, 5) + t(0, 2, 1) = (4-4t, 2t, 5-4t)$

したがって、点Pの座標は $(4-4t, 2t, 5-4t)$ と表せる。

$\vec{OP} = (4-4t, 2t, 5-4t)$

$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = (0, 2, 1) - (4, 0, 5) = (-4, 2, -4)$

$\vec{OP} \perp \vec{AB}$ より、$\vec{OP} \cdot \vec{AB} = 0$

$(4-4t, 2t, 5-4t) \cdot (-4, 2, -4) = 0$

$-16 + 16t + 4t -20 + 16t = 0$

$36t = 36$

$t = 1$

しかし、t = 1の場合、点Pは点Bと一致する。点Bから原点までの距離は $\sqrt{0^2+2^2+1^2} = \sqrt{5}$ である。直線AB上の他の点について、原点からの距離が$\sqrt{5}$より小さくなる可能性がある。そこで、パラメータtの範囲を広げて考える。

$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = (0, 2, 1) - (4, 0, 5) = (-4, 2, -4)$

$\vec{OP} \perp \vec{AB}$ より、内積は0になるので、

$(-4)(4-4t) + (2)(2t) + (-4)(5-4t) = 0$

$-16 + 16t + 4t -20 + 16t = 0$

$36t = 36$

$t = 1$

これは間違っている。

$\vec{p} = \vec{a} + t\vec{AB} = (4,0,5) + t(-4,2,-4) = (4-4t, 2t, 5-4t)$

$\vec{OP} = (4-4t, 2t, 5-4t)$

$\vec{OP} \cdot \vec{AB} = 0$

$(4-4t)(-4) + (2t)(2) + (5-4t)(-4) = 0$

$-16+16t+4t-20+16t=0$

$36t-36 = 0$

$t = 1$

どうしてこうなる?

計算ミスがないか確認しましょう。

点A(4,0,5), 点B(0,2,1)。直線AB上の点Pを

$P = (x,y,z) = A + t(B-A) = (4,0,5)+t(-4,2,-4) = (4-4t,2t,5-4t)$と表す。

$OP = \sqrt{(4-4t)^2+(2t)^2+(5-4t)^2}$を最小にするtを求める。

$f(t) = (4-4t)^2+(2t)^2+(5-4t)^2 = 16-32t+16t^2+4t^2+25-40t+16t^2 = 36t^2-72t+41$

$f'(t) = 72t-72$

$f'(t)=0$となるtは$t=1$

$f''(t) = 72 > 0$なので極小。

よってPは(0,2,1)となる。

OPとABが垂直になることを示す。

$OP = (0,2,1)$

$AB = (-4,2,-4)$

$OP \cdot AB = 0\cdot(-4) + 2\cdot2 + 1\cdot(-4) = 0+4-4 = 0$

よってOPとABは垂直。

3. 最終的な答え

(1) 直線ABと直線OPは直交する。

(2) 点Pの座標は(0, 2, 1)であり、直線ABと直線OPは直交する。