直線 $2x-y+2=0$ を $l$ とする。直線 $l$ に関して点 $A(2, 1)$ と対称な点 $B$ の座標を求める。

1. 問題の内容

直線 $2x-y+2=0$ を $l$ とする。直線 $l$ に関して点 $A(2, 1)$ と対称な点 $B$ の座標を求める。

2. 解き方の手順

まず、点 $B$ の座標を $(x, y)$ とおきます。

点 $A$ と点 $B$ が直線 $l$ に関して対称であるということは、以下の2つの条件を満たすということです。

(1) 線分 $AB$ の中点が直線 $l$ 上にある。

(2) 直線 $AB$ と直線 $l$ は垂直である。

(1) 線分 $AB$ の中点の座標は $\left( \frac{x+2}{2}, \frac{y+1}{2} \right)$ であり、この点が直線 $l$ 上にあるので、

$$2 \left( \frac{x+2}{2} \right) - \left( \frac{y+1}{2} \right) + 2 = 0$$

これを整理すると、

$$2(x+2) - (y+1) + 4 = 0$$

$$2x + 4 - y - 1 + 4 = 0$$

$$2x - y + 7 = 0$$

(2) 直線 $AB$ の傾きは $\frac{y-1}{x-2}$ であり、直線 $l$ の傾きは $2$ です。

直線 $AB$ と直線 $l$ は垂直なので、

$$\frac{y-1}{x-2} \times 2 = -1$$

$$2(y-1) = -(x-2)$$

$$2y - 2 = -x + 2$$

$$x + 2y - 4 = 0$$

したがって、以下の連立方程式を解けばよいことになります。

$$$$

\begin{cases}

2x - y + 7 = 0 \\

x + 2y - 4 = 0

\end{cases}

$$$$

1番目の式を2倍すると

$$4x - 2y + 14 = 0$$

これと2番目の式を足し合わせると、

$$5x + 10 = 0$$

$$x = -2$$

これを2番目の式に代入すると、

$$-2 + 2y - 4 = 0$$

$$2y = 6$$

$$y = 3$$

したがって、点 $B$ の座標は $(-2, 3)$ となります。

3. 最終的な答え

点Bの座標は $(-2, 3)$