四面体OABCにおいて、辺OAの中点をD、辺BCの中点をEとする。線分DEの中点をM、三角形ABCの重心をGとするとき、3点O, M, Gが一直線上にあることを証明する。

1. 問題の内容

四面体OABCにおいて、辺OAの中点をD、辺BCの中点をEとする。線分DEの中点をM、三角形ABCの重心をGとするとき、3点O, M, Gが一直線上にあることを証明する。

2. 解き方の手順

Oを始点とする位置ベクトルを考える。

$\vec{a} = \vec{OA}$、 $\vec{b} = \vec{OB}$、 $\vec{c} = \vec{OC}$ とする。

DはOAの中点なので、

$\vec{OD} = \frac{1}{2} \vec{a}$

EはBCの中点なので、

$\vec{OE} = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c})$

MはDEの中点なので、

$\vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{OD} + \vec{OE}) = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c})) = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{1}{4}\vec{c}$

Gは三角形ABCの重心なので、

$\vec{OG} = \frac{1}{3}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$

$\vec{OM} = k \vec{OG}$となる実数kが存在することを示せばよい。

ここで、$\vec{OG} = \frac{1}{3}(\vec{OB} + \vec{OC}) = \frac{1}{3}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$であることに注意する。

$\vec{OM} = \frac{1}{4}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = \frac{3}{4} \vec{OG}$

したがって、$\vec{OM} = \frac{3}{4}\vec{OG}$となる。

3. 最終的な答え

$\vec{OM} = \frac{3}{4} \vec{OG}$なので、2つのベクトル$\vec{OM}$と$\vec{OG}$は平行である。また、Oは共通点なので、3点O, M, Gは一直線上にある。

（証明終わり）