直方体OADB-CEGFにおいて、DG = GHとなるように点Hをとる。直線OHと平面ABCの交点をPとする。$\vec{OA}=\vec{a}$, $\vec{OB}=\vec{b}$, $\vec{OC}=\vec{c}$のとき、$\vec{OP}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$を用いて表す問題です。

1. 問題の内容

直方体OADB-CEGFにおいて、DG = GHとなるように点Hをとる。直線OHと平面ABCの交点をPとする。$\vec{OA}=\vec{a}$, $\vec{OB}=\vec{b}$, $\vec{OC}=\vec{c}$のとき、$\vec{OP}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$を用いて表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{OH}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$を用いて表します。

$\vec{OD} = \vec{OA} + \vec{OB} = \vec{a} + \vec{b}$

$\vec{OG} = \vec{OD} + \vec{OC} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$

$\vec{OH} = \vec{OG} + \vec{GH} = \vec{OG} + \vec{DG} = \vec{OG} + \vec{OG} - \vec{OD} = 2\vec{OG} - \vec{OD} = 2(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} + \vec{b} + 2\vec{c}$

次に、$\vec{OP} = k\vec{OH}$（kは実数）とおきます。

$\vec{OP} = k(\vec{a} + \vec{b} + 2\vec{c}) = k\vec{a} + k\vec{b} + 2k\vec{c}$

点Pは平面ABC上の点なので、$\vec{OP} = s\vec{OA} + t\vec{OB} + u\vec{OC}$と表すことができ、$s+t+u=1$を満たす。

$\vec{OP} = s\vec{a} + t\vec{b} + u\vec{c}$

$k\vec{a} + k\vec{b} + 2k\vec{c} = s\vec{a} + t\vec{b} + u\vec{c}$

$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$は一次独立なので、

$k = s$

$k = t$

$2k = u$

$s + t + u = 1$

$k + k + 2k = 1$

$4k = 1$

$k = \frac{1}{4}$

したがって、

$\vec{OP} = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{2}{4}\vec{c} = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$

3. 最終的な答え

$\vec{OP} = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$