ベクトル $\vec{a} = (2, 0, -1)$ とベクトル $\vec{b} = (1, 3, -2)$ の両方に垂直で、大きさが $\sqrt{6}$ であるベクトル $\vec{p}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (2, 0, -1)$ とベクトル $\vec{b} = (1, 3, -2)$ の両方に垂直で、大きさが $\sqrt{6}$ であるベクトル $\vec{p}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

ベクトル $\vec{p} = (x, y, z)$ とおきます。

(1) $\vec{p}$ が $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の両方に垂直であることから、内積が0になるという条件を使います。

$\vec{p} \cdot \vec{a} = 0$ より、

$2x - z = 0$

$\vec{p} \cdot \vec{b} = 0$ より、

$x + 3y - 2z = 0$

(2) $2x - z = 0$ より、$z = 2x$ となります。これを $x + 3y - 2z = 0$ に代入すると、

$x + 3y - 4x = 0$

$-3x + 3y = 0$

$x = y$

したがって、$\vec{p} = (x, x, 2x)$ と表すことができます。

(3) $\vec{p}$ の大きさが $\sqrt{6}$ であるという条件を使います。

$|\vec{p}| = \sqrt{x^2 + x^2 + (2x)^2} = \sqrt{6}$

$\sqrt{x^2 + x^2 + 4x^2} = \sqrt{6}$

$\sqrt{6x^2} = \sqrt{6}$

$6x^2 = 6$

$x^2 = 1$

$x = \pm 1$

(4) $x = 1$ のとき、$\vec{p} = (1, 1, 2)$

$x = -1$ のとき、$\vec{p} = (-1, -1, -2)$

3. 最終的な答え

$\vec{p} = (1, 1, 2)$ または $\vec{p} = (-1, -1, -2)$