三角形ABCの内角をA, B, Cとするとき、以下の等式を証明する。 (1) $\sin \frac{B+C}{2} = \cos \frac{A}{2}$ (2) $\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B+C}{2} = 1$

1. 問題の内容

三角形ABCの内角をA, B, Cとするとき、以下の等式を証明する。

(1) $\sin \frac{B+C}{2} = \cos \frac{A}{2}$

(2) $\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B+C}{2} = 1$

2. 解き方の手順

(1) 三角形の内角の和は180°であるから、$A + B + C = 180^{\circ}$が成り立つ。したがって、$B + C = 180^{\circ} - A$である。

この式を$\sin \frac{B+C}{2}$に代入すると、

$\sin \frac{B+C}{2} = \sin \frac{180^{\circ} - A}{2} = \sin(90^{\circ} - \frac{A}{2})$

ここで、$\sin(90^{\circ} - x) = \cos x$の関係を用いると、

$\sin(90^{\circ} - \frac{A}{2}) = \cos \frac{A}{2}$

よって、$\sin \frac{B+C}{2} = \cos \frac{A}{2}$が成り立つ。

(2) 三角形の内角の和は180°であるから、$A + B + C = 180^{\circ}$が成り立つ。したがって、$B + C = 180^{\circ} - A$である。

この式を$\tan \frac{B+C}{2}$に代入すると、

$\tan \frac{B+C}{2} = \tan \frac{180^{\circ} - A}{2} = \tan(90^{\circ} - \frac{A}{2})$

ここで、$\tan(90^{\circ} - x) = \frac{1}{\tan x}$の関係を用いると、

$\tan(90^{\circ} - \frac{A}{2}) = \frac{1}{\tan \frac{A}{2}}$

よって、$\tan \frac{B+C}{2} = \frac{1}{\tan \frac{A}{2}}$が成り立つ。

この式を$\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B+C}{2}$に代入すると、

$\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B+C}{2} = \tan \frac{A}{2} \cdot \frac{1}{\tan \frac{A}{2}} = 1$

よって、$\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B+C}{2} = 1$が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $\sin \frac{B+C}{2} = \cos \frac{A}{2}$

(2) $\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B+C}{2} = 1$