与えられた直角三角形について、角度$\theta$に対する$\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$の値をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

与えられた直角三角形について、角度$\theta$に対する$\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$の値をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

(1) 図の直角三角形において、斜辺の長さは4、対辺の長さは3、隣辺の長さは$\sqrt{7}$である。三角比の定義より、

$\sin \theta = \frac{\text{対辺}}{\text{斜辺}} = \frac{3}{4}$

$\cos \theta = \frac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$

$\tan \theta = \frac{\text{対辺}}{\text{隣辺}} = \frac{3}{\sqrt{7}} = \frac{3\sqrt{7}}{7}$

(2) 図の直角三角形において、斜辺の長さは$\sqrt{13}$、隣辺の長さは$\sqrt{13}$、対辺の長さは2である。三角比の定義より、

$\sin \theta = \frac{\text{対辺}}{\text{斜辺}} = \frac{2}{\sqrt{13}} = \frac{2\sqrt{13}}{13}$

$\cos \theta = \frac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}} = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{17}}$

$\tan \theta = \frac{\text{対辺}}{\text{隣辺}} = \frac{2}{\sqrt{13}}$

3. 最終的な答え

(1)

$\sin \theta = \frac{3}{4}$

$\cos \theta = \frac{\sqrt{7}}{4}$

$\tan \theta = \frac{3\sqrt{7}}{7}$

(2)

まず、斜辺の長さを計算する。直角三角形において斜辺は$\sqrt{2^2 + (\sqrt{13})^2} = \sqrt{4+13} = \sqrt{17}$である。

しかし、図からすると、$\sqrt{13}$が斜辺であり、$\theta$に対する対辺は2である。

したがって$\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{13}} = \frac{2\sqrt{13}}{13}$, $\cos \theta = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}} = 1$ はありえないので、この図は間違っていると思われる。

$\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{17}}$

$\cos \theta = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{17}}$

tanの値

$\tan \theta = \frac{2}{\sqrt{13}} = \frac{2\sqrt{13}}{13}$

しかし斜辺が$\sqrt{13}$で隣辺が不明であるなら、 $AC= \sqrt{13}$として計算する。

$\cos \theta = \frac{AC}{AB}= \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$とはならないので、問題文か図が間違っている。

仮に斜辺を$\sqrt{13}$とするなら$\cos{\theta}=\frac{AC}{\sqrt{13}}$なので

$\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{13}} = \frac{2\sqrt{13}}{13}$

$\cos \theta = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{13}^2 - 2^2)}}{\sqrt{13}}= \frac{3}{\sqrt{13}}=\frac{3\sqrt{13}}{13}$

$\tan \theta = \frac{2}{3}$