$\theta$ は鋭角とするとき、以下の各場合について、与えられた三角比の値から、残りの2つの三角比の値を求める。 (1) $\sin \theta = \frac{1}{2}$ (2) $\cos \theta = \frac{5}{13}$ (3) $\tan \theta = 3$

1. 問題の内容

$\theta$ は鋭角とするとき、以下の各場合について、与えられた三角比の値から、残りの2つの三角比の値を求める。

(1) $\sin \theta = \frac{1}{2}$

(2) $\cos \theta = \frac{5}{13}$

(3) $\tan \theta = 3$

2. 解き方の手順

(1) $\sin \theta = \frac{1}{2}$ の場合

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を用いて $\cos \theta$ を求める。

$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - (\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

$\theta$ は鋭角なので、$\cos \theta > 0$ より、$\cos \theta = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

(2) $\cos \theta = \frac{5}{13}$ の場合

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を用いて $\sin \theta$ を求める。

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - (\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$

$\theta$ は鋭角なので、$\sin \theta > 0$ より、$\sin \theta = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}} = \frac{12}{5}$

(3) $\tan \theta = 3$ の場合

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = 3$ より、$\sin \theta = 3 \cos \theta$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ に代入すると、

$(3 \cos \theta)^2 + \cos^2 \theta = 1$

$9 \cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$10 \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{10}$

$\theta$ は鋭角なので、$\cos \theta > 0$ より、$\cos \theta = \sqrt{\frac{1}{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$

$\sin \theta = 3 \cos \theta = 3 \cdot \frac{\sqrt{10}}{10} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}, \tan \theta = \frac{\sqrt{3}}{3}$

(2) $\sin \theta = \frac{12}{13}, \tan \theta = \frac{12}{5}$

(3) $\sin \theta = \frac{3\sqrt{10}}{10}, \cos \theta = \frac{\sqrt{10}}{10}$