与えられた定積分を計算します。 (1) $\int_{-1}^{1} (x+1)^2 dx$ (2) $\int_{0}^{3} (2x^2-3x-2) dx$

1. 問題の内容

与えられた定積分を計算します。

(1) $\int_{-1}^{1} (x+1)^2 dx$

(2) $\int_{0}^{3} (2x^2-3x-2) dx$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$(x+1)^2$ を展開します。

$(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$

次に、積分を計算します。

$\int_{-1}^{1} (x^2 + 2x + 1) dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 + x^2 + x \right]_{-1}^{1}$

積分区間の上限と下限を代入して計算します。

$\left( \frac{1}{3}(1)^3 + (1)^2 + (1) \right) - \left( \frac{1}{3}(-1)^3 + (-1)^2 + (-1) \right) = \left( \frac{1}{3} + 1 + 1 \right) - \left( -\frac{1}{3} + 1 - 1 \right) = \frac{1}{3} + 2 + \frac{1}{3} = \frac{2}{3} + 2 = \frac{8}{3}$

(2)

積分を計算します。

$\int_{0}^{3} (2x^2 - 3x - 2) dx = \left[ \frac{2}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 - 2x \right]_{0}^{3}$

積分区間の上限と下限を代入して計算します。

$\left( \frac{2}{3}(3)^3 - \frac{3}{2}(3)^2 - 2(3) \right) - \left( \frac{2}{3}(0)^3 - \frac{3}{2}(0)^2 - 2(0) \right) = \frac{2}{3}(27) - \frac{3}{2}(9) - 6 = 18 - \frac{27}{2} - 6 = 12 - \frac{27}{2} = \frac{24 - 27}{2} = -\frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{8}{3}$

(2) $-\frac{3}{2}$