与えられた三角関数の式を簡単にする問題です。 与えられた式は $\sin(\theta + \pi) \cos(\frac{\pi}{2} - \theta) + \cos(-\theta) \cos(\theta + \pi)$ です。

1. 問題の内容

与えられた三角関数の式を簡単にする問題です。

与えられた式は

$\sin(\theta + \pi) \cos(\frac{\pi}{2} - \theta) + \cos(-\theta) \cos(\theta + \pi)$

です。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の加法定理、余角の公式、偶関数の性質を利用して式を簡単にします。

ステップ1: $\sin(\theta + \pi)$ を簡略化する。

$\sin(\theta + \pi) = \sin\theta \cos\pi + \cos\theta \sin\pi = \sin\theta (-1) + \cos\theta (0) = -\sin\theta$

ステップ2: $\cos(\frac{\pi}{2} - \theta)$ を簡略化する。

$\cos(\frac{\pi}{2} - \theta) = \sin\theta$

ステップ3: $\cos(-\theta)$ を簡略化する。

$\cos(-\theta) = \cos\theta$

ステップ4: $\cos(\theta + \pi)$ を簡略化する。

$\cos(\theta + \pi) = \cos\theta \cos\pi - \sin\theta \sin\pi = \cos\theta (-1) - \sin\theta (0) = -\cos\theta$

ステップ5: ステップ1からステップ4の結果を元の式に代入する。

$\sin(\theta + \pi) \cos(\frac{\pi}{2} - \theta) + \cos(-\theta) \cos(\theta + \pi) = (-\sin\theta)(\sin\theta) + (\cos\theta)(-\cos\theta) = -\sin^2\theta - \cos^2\theta$

ステップ6: 三角関数の基本的な恒等式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を用いて、式をさらに簡略化する。

$-\sin^2\theta - \cos^2\theta = -(\sin^2\theta + \cos^2\theta) = -1$

3. 最終的な答え

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