与えられた積分計算と重積分による体積計算を行う問題です。 具体的には、以下の5つの問題を解きます。 (1) $\int \frac{1}{x^2 - 1} dx$ (2) $\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} dx$ (3) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x \sin 2x \sin 3x dx$ (4) $\int_0^{\infty} e^{-x} \cos x dx$ (5) 領域 $D$ を $x \ge 0$, $y \ge 0$, $z \ge 0$, $y \le 2-x$, $y \le 1-z$ で囲まれてできる領域とするとき、$D$ の体積を重積分により求めよ。

1. 問題の内容

与えられた積分計算と重積分による体積計算を行う問題です。

具体的には、以下の5つの問題を解きます。

(1) $\int \frac{1}{x^2 - 1} dx$

(2) $\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} dx$

(3) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x \sin 2x \sin 3x dx$

(4) $\int_0^{\infty} e^{-x} \cos x dx$

(5) 領域 $D$ を $x \ge 0$, $y \ge 0$, $z \ge 0$, $y \le 2-x$, $y \le 1-z$ で囲まれてできる領域とするとき、$D$ の体積を重積分により求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{1}{x^2 - 1} dx$

部分分数分解を行います。

$\frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}$

$1 = A(x+1) + B(x-1)$

$x = 1$ のとき、$1 = 2A$ より $A = \frac{1}{2}$。

$x = -1$ のとき、$1 = -2B$ より $B = -\frac{1}{2}$。

$\int \frac{1}{x^2 - 1} dx = \int (\frac{1/2}{x-1} - \frac{1/2}{x+1}) dx = \frac{1}{2} \int (\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}) dx = \frac{1}{2} (\ln|x-1| - \ln|x+1|) + C = \frac{1}{2} \ln|\frac{x-1}{x+1}| + C$

(2) $\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} dx$

$x = \sinh t$ と置換します。$dx = \cosh t dt$

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{\sinh^2 t + 1}} \cosh t dt = \int \frac{1}{\sqrt{\cosh^2 t}} \cosh t dt = \int \frac{\cosh t}{\cosh t} dt = \int 1 dt = t + C = \sinh^{-1} x + C = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) + C$

(3) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x \sin 2x \sin 3x dx$

$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ を用いると、

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x (2 \sin x \cos x) \sin 3x dx = 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos x \sin 3x dx$

$\sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$ を用いると、

$2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos x (3 \sin x - 4 \sin^3 x) dx = 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} (3 \sin^3 x \cos x - 4 \sin^5 x \cos x) dx$

$t = \sin x$ と置換すると、$dt = \cos x dx$

$2 \int_0^1 (3t^3 - 4t^5) dt = 2 [\frac{3}{4} t^4 - \frac{4}{6} t^6]_0^1 = 2 (\frac{3}{4} - \frac{2}{3}) = 2 (\frac{9-8}{12}) = \frac{1}{6}$

(4) $\int_0^{\infty} e^{-x} \cos x dx$

部分積分を2回行います。

$I = \int_0^{\infty} e^{-x} \cos x dx$

$u = \cos x$, $dv = e^{-x} dx$ とすると、$du = -\sin x dx$, $v = -e^{-x}$

$I = [-e^{-x} \cos x]_0^{\infty} - \int_0^{\infty} (-e^{-x}) (-\sin x) dx = (0 - (-1)) - \int_0^{\infty} e^{-x} \sin x dx = 1 - \int_0^{\infty} e^{-x} \sin x dx$

$u = \sin x$, $dv = e^{-x} dx$ とすると、$du = \cos x dx$, $v = -e^{-x}$

$I = 1 - ([-e^{-x} \sin x]_0^{\infty} - \int_0^{\infty} (-e^{-x}) \cos x dx) = 1 - (0 + \int_0^{\infty} e^{-x} \cos x dx) = 1 - I$

$2I = 1$ より $I = \frac{1}{2}$

(5) 領域 $D$ の体積

領域 $D$ は $x \ge 0$, $y \ge 0$, $z \ge 0$, $y \le 2-x$, $y \le 1-z$ で囲まれています。

体積 $V = \int \int \int_D dxdydz$

$z = 1 - y$ より、$0 \le y \le 1$

$x = 2 - y$ より、$0 \le x \le 2 - y$

$V = \int_0^1 \int_0^{2-y} (1-y) dxdy = \int_0^1 (2-y)(1-y)dy = \int_0^1 (2 - 3y + y^2) dy = [2y - \frac{3}{2} y^2 + \frac{1}{3} y^3]_0^1 = 2 - \frac{3}{2} + \frac{1}{3} = \frac{12 - 9 + 2}{6} = \frac{5}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2} \ln|\frac{x-1}{x+1}| + C$

(2) $\ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) + C$

(3) $\frac{1}{6}$

(4) $\frac{1}{2}$

(5) $\frac{5}{6}$