RL直列回路において、以下の小問に答える。 1) $LI' + RI = 0$ の一般解を求める。 2) $V(t) = V_0$ の場合の特殊解 $I_p$ を求め、方程式の一般解を求める。初期条件 $I(0) = 0$ を満たす解を求め、電流 $I(t)$ が時間に対してどのように変化するかを説明する。 3) $V(t) = V_0 \sin(\omega t)$ の場合の特殊解 $I_p$ を未定係数法で求める。$I_p(t) = A\sin(\omega t + \delta)$ とおいて、$A$ と $\delta$ の関係式を導く。 4) 前問の関係式において、特に $t=0$, $t=\frac{\pi}{2\omega}$ のときを考え、$\delta = -\tan^{-1}\left(\frac{\omega L}{R}\right)$、$A = \frac{V_0}{\sqrt{(\omega L)^2 + R^2}}$ となることを示す。

1. 問題の内容

RL直列回路において、以下の小問に答える。

1) $LI' + RI = 0$ の一般解を求める。

2) $V(t) = V_0$ の場合の特殊解 $I_p$ を求め、方程式の一般解を求める。初期条件 $I(0) = 0$ を満たす解を求め、電流 $I(t)$ が時間に対してどのように変化するかを説明する。

3) $V(t) = V_0 \sin(\omega t)$ の場合の特殊解 $I_p$ を未定係数法で求める。$I_p(t) = A\sin(\omega t + \delta)$ とおいて、$A$ と $\delta$ の関係式を導く。

4) 前問の関係式において、特に $t=0$, $t=\frac{\pi}{2\omega}$ のときを考え、$\delta = -\tan^{-1}\left(\frac{\omega L}{R}\right)$、$A = \frac{V_0}{\sqrt{(\omega L)^2 + R^2}}$ となることを示す。

2. 解き方の手順

1) 斉次方程式 $LI' + RI = 0$ を解く。

$LI' = -RI$

$\frac{dI}{I} = -\frac{R}{L} dt$

$\int \frac{dI}{I} = \int -\frac{R}{L} dt$

$\ln |I| = -\frac{R}{L} t + C$

$I(t) = e^{-\frac{R}{L}t + C} = e^C e^{-\frac{R}{L}t} = K e^{-\frac{R}{L}t}$

ただし、$K$ は任意定数。

2) $V(t) = V_0$ の場合を考える。

特殊解を $I_p = A$ (定数) と仮定する。

$LI'_p + RI_p = V_0$ に代入すると、$L(0) + RA = V_0$ より、$A = \frac{V_0}{R}$。

したがって、特殊解は $I_p = \frac{V_0}{R}$。

一般解は、$I(t) = I_p + I_h = \frac{V_0}{R} + K e^{-\frac{R}{L}t}$。

初期条件 $I(0) = 0$ より、$0 = \frac{V_0}{R} + K$ なので、$K = -\frac{V_0}{R}$。

よって、$I(t) = \frac{V_0}{R} - \frac{V_0}{R} e^{-\frac{R}{L}t} = \frac{V_0}{R}(1 - e^{-\frac{R}{L}t})$。

$t \rightarrow \infty$ で、$I(t) \rightarrow \frac{V_0}{R}$ に収束する。つまり、時間経過とともに電流は $\frac{V_0}{R}$ に近づく。

3) $V(t) = V_0 \sin(\omega t)$ の場合を考える。

$I_p(t) = A\sin(\omega t + \delta)$ を $LI' + RI = V(t)$ に代入する。

$LI'_p = LA\omega \cos(\omega t + \delta)$

$RI_p = RA\sin(\omega t + \delta)$

$LA\omega \cos(\omega t + \delta) + RA\sin(\omega t + \delta) = V_0 \sin(\omega t)$

$LA\omega \cos(\omega t + \delta) = LA\omega [\cos(\omega t)\cos(\delta) - \sin(\omega t)\sin(\delta)]$

$RA\sin(\omega t + \delta) = RA[\sin(\omega t)\cos(\delta) + \cos(\omega t)\sin(\delta)]$

$A[R\cos(\delta) \sin(\omega t) + R\sin(\delta) \cos(\omega t) + L\omega \cos(\delta) \cos(\omega t) - L\omega \sin(\delta) \sin(\omega t)] = V_0 \sin(\omega t)$

$A[ (R\cos(\delta) - L\omega \sin(\delta))\sin(\omega t) + (R\sin(\delta) + L\omega \cos(\delta))\cos(\omega t) ] = V_0 \sin(\omega t)$

$\sin(\omega t)$ の係数比較より、$A(R\cos(\delta) - L\omega \sin(\delta)) = V_0$

$\cos(\omega t)$ の係数比較より、$A(R\sin(\delta) + L\omega \cos(\delta)) = 0$

$R\sin(\delta) + L\omega \cos(\delta) = 0$

$\tan(\delta) = -\frac{L\omega}{R}$

$\delta = -\tan^{-1}\left(\frac{\omega L}{R}\right)$

$A = \frac{V_0}{R\cos(\delta) - L\omega \sin(\delta)} = \frac{V_0}{R\cos(\delta) + L\omega \frac{L\omega}{R}\cos(\delta)} = \frac{V_0}{\cos(\delta)(R + \frac{(L\omega)^2}{R})} = \frac{V_0}{\cos(\delta)\frac{R^2 + (L\omega)^2}{R}}$

$\cos(\delta) = \frac{1}{\sqrt{1+\tan^2(\delta)}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{(L\omega)^2}{R^2}}} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + (L\omega)^2}}$

$A = \frac{V_0}{\frac{R}{\sqrt{R^2+(L\omega)^2}}\frac{R^2 + (L\omega)^2}{R}} = \frac{V_0}{\sqrt{R^2 + (L\omega)^2}}$

4) $t=0$ のとき、$I_p(0) = A\sin(\delta) = A\sin(-\tan^{-1}(\frac{\omega L}{R})) < 0$

$t = \frac{\pi}{2\omega}$ のとき、$I_p(\frac{\pi}{2\omega}) = A\sin(\omega \frac{\pi}{2\omega} + \delta) = A\sin(\frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(\frac{\omega L}{R})) = A\cos(-\tan^{-1}(\frac{\omega L}{R})) > 0$

$\delta = -\tan^{-1}\left(\frac{\omega L}{R}\right)$

$A = \frac{V_0}{\sqrt{(\omega L)^2 + R^2}}$

3. 最終的な答え

1) $I(t) = K e^{-\frac{R}{L}t}$

2) $I(t) = \frac{V_0}{R}(1 - e^{-\frac{R}{L}t})$

3) $\delta = -\tan^{-1}\left(\frac{\omega L}{R}\right)$, $A = \frac{V_0}{\sqrt{(\omega L)^2 + R^2}}$

4) $\delta = -\tan^{-1}\left(\frac{\omega L}{R}\right)$, $A = \frac{V_0}{\sqrt{(\omega L)^2 + R^2}}$ (上記参照)