5個の数字0, 1, 2, 3, 4から異なる3個の数字を選んで3桁の整数を作る。 (1) 作れる3桁の整数は全部で何個か。 (2) 作れる偶数は何個か。

1. 問題の内容

5個の数字0, 1, 2, 3, 4から異なる3個の数字を選んで3桁の整数を作る。

(1) 作れる3桁の整数は全部で何個か。

(2) 作れる偶数は何個か。

2. 解き方の手順

(1) 3桁の整数を作る場合、百の位には0以外の数字が入る必要がある。

まず、3つの数字の選び方を考える。5個から3個を選ぶので、全部で ${}_5 P_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$ 通りの並べ方がある。

しかし、この中には百の位が0である場合が含まれている。百の位が0であるものを除く必要がある。

百の位が0である場合、残りの2桁は1, 2, 3, 4から2つの数字を選んで並べるので、${}_4 P_2 = 4 \times 3 = 12$ 通りある。

したがって、3桁の整数の個数は $60 - 12 = 48$ 個である。

(2) 偶数を作る場合、一の位が0, 2, 4のいずれかである必要がある。

(i) 一の位が0の場合：百の位は1, 2, 3, 4のいずれか、十の位は残りの3個のいずれかとなるので、$4 \times 3 = 12$ 通り。

(ii) 一の位が2の場合：百の位は0以外の数字（1, 3, 4のいずれか）となる。

- 百の位が1, 3, 4のいずれかの場合、十の位は0と百の位で使用しなかった数字のいずれかになるので、$3 \times 3 = 9$ 通り。

(iii) 一の位が4の場合：百の位は0以外の数字（1, 2, 3のいずれか）となる。

- 百の位が1, 2, 3のいずれかの場合、十の位は0と百の位で使用しなかった数字のいずれかになるので、$3 \times 3 = 9$ 通り。

よって、偶数の個数は $12 + 9 + 9 = 30$ 個である。

3. 最終的な答え

(1) 48個

(2) 30個