次の等式が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a$, $b$, $c$ の値を定めよ。 (1) $\frac{3x-5}{(2x-1)(x+3)} = \frac{a}{2x-1} + \frac{b}{x+3}$ (2) $\frac{1}{x^3+1} = \frac{a}{x+1} + \frac{bx+c}{x^2-x+1}$

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

次の等式が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a$, $b$, $c$ の値を定めよ。

(1) $\frac{3x-5}{(2x-1)(x+3)} = \frac{a}{2x-1} + \frac{b}{x+3}$

(2) $\frac{1}{x^3+1} = \frac{a}{x+1} + \frac{bx+c}{x^2-x+1}$

2. 解き方の手順

(1) 与えられた等式の両辺に $(2x-1)(x+3)$ をかける。

$3x-5 = a(x+3) + b(2x-1)$

$3x-5 = ax + 3a + 2bx - b$

$3x-5 = (a+2b)x + (3a-b)$

この等式が $x$ についての恒等式であるためには、$x$ の係数と定数項がそれぞれ等しくなければならない。したがって、次の連立方程式を得る。

$a + 2b = 3$

$3a - b = -5$

第2式を2倍すると、$6a - 2b = -10$ となる。

これと第1式を足すと、$7a = -7$ より、$a = -1$。

これを第1式に代入すると、$-1 + 2b = 3$ より、$2b = 4$ なので、$b = 2$。

(2) 与えられた等式の両辺に $x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)$ をかける。

$1 = a(x^2-x+1) + (bx+c)(x+1)$

$1 = ax^2 - ax + a + bx^2 + bx + cx + c$

$1 = (a+b)x^2 + (-a+b+c)x + (a+c)$

この等式が $x$ についての恒等式であるためには、$x^2$ の係数、$x$ の係数、定数項がそれぞれ等しくなければならない。したがって、次の連立方程式を得る。

$a + b = 0$

$-a + b + c = 0$

$a + c = 1$

第1式より、$b = -a$

第3式より、$c = 1-a$

これらを第2式に代入すると、

$-a - a + 1 - a = 0$

$-3a + 1 = 0$

$3a = 1$

$a = \frac{1}{3}$

$b = -a = -\frac{1}{3}$

$c = 1 - a = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $a = -1$, $b = 2$

(2) $a = \frac{1}{3}$, $b = -\frac{1}{3}$, $c = \frac{2}{3}$