与えられた式 $(x+2)(x-2)(x^2+2x+4)(x^2-2x+4)$ を展開して簡単にします。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+2)(x-2)(x^2+2x+4)(x^2-2x+4)$ を展開して簡単にします。

2. 解き方の手順

まず、$(x+2)(x-2)$ を計算します。これは和と差の積の公式 $A^2-B^2 = (A+B)(A-B)$ を利用して計算できます。

$$(x+2)(x-2) = x^2 - 2^2 = x^2 - 4$$

次に、$(x^2+2x+4)(x^2-2x+4)$ を計算します。これは、$(A+B)(A-B)$ の形と似ています。$A = x^2 + 4$ 、$B = 2x$ と置くと、

$$(x^2+2x+4)(x^2-2x+4) = ((x^2+4)+2x)((x^2+4)-2x) = (x^2+4)^2 - (2x)^2$$

これを展開すると、

$$(x^2+4)^2 - (2x)^2 = (x^4+8x^2+16) - 4x^2 = x^4+4x^2+16$$

最後に、$(x^2-4)(x^4+4x^2+16)$ を計算します。これも、$A=x^2$, $B=4$とおくと、$A-B$と$A^2+AB+B^2$の形になっていることがわかります。つまり、$A^3 - B^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2)$ の公式が使えます。

$$(x^2-4)(x^4+4x^2+16) = (x^2)^3 - (4)^3 = x^6 - 64$$

3. 最終的な答え

$x^6 - 64$