(1) 整式 $A$ を $x^2-2x-1$ で割ると、商が $2x-3$, 余りが $-2x+3$ である。このとき、$A$ を求めよ。 (2) $x^3+x^2-3x-1$ を整式 $B$ で割ると、商が $x-1$, 余りが $-3x+1$ である。このとき、$B$ を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 整式 $A$ を $x^2-2x-1$ で割ると、商が $2x-3$, 余りが $-2x+3$ である。このとき、$A$ を求めよ。

(2) $x^3+x^2-3x-1$ を整式 $B$ で割ると、商が $x-1$, 余りが $-3x+1$ である。このとき、$B$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 割り算の基本公式 $A = BQ + R$ (ここで $A$ は割られる数、$B$ は割る数、$Q$ は商、$R$ は余り)を利用する。

$A = (x^2-2x-1)(2x-3) + (-2x+3)$ を計算する。

$A = (x^2-2x-1)(2x-3) - 2x + 3$

$A = x^2(2x-3) - 2x(2x-3) - (2x-3) - 2x + 3$

$A = 2x^3 - 3x^2 - 4x^2 + 6x - 2x + 3 - 2x + 3$

$A = 2x^3 - 7x^2 + 2x + 6$

(2) 割り算の基本公式 $x^3+x^2-3x-1 = B(x-1) + (-3x+1)$ を利用する。

$x^3+x^2-3x-1 = B(x-1) -3x+1$

$x^3+x^2-3x-1 + 3x - 1 = B(x-1)$

$x^3 + x^2 - 2 = B(x-1)$

$B = \frac{x^3+x^2-2}{x-1}$ を計算する。

多項式を割る：

$x^3 + x^2 + 0x - 2$ を $x-1$ で割る。

```

x^2 + 2x + 2

x-1 | x^3 + x^2 + 0x - 2

-(x^3 - x^2)

------------------

2x^2 + 0x

-(2x^2 - 2x)

------------------

2x - 2

-(2x - 2)

------------------

0

```

したがって、$B = x^2 + 2x + 2$

3. 最終的な答え

(1) $A = 2x^3 - 7x^2 + 2x + 6$

(2) $B = x^2 + 2x + 2$