画像には、5つの数学の問題があります。 (1) 不等式 $2|x-2|-x \le 4$ を解く。 (2) 関数 $f(x) = \log_2(x-1) + 2\log_4(3-2x)$ の最大値を求める。 (3) 曲線 $y = x^3 + 2x^2$ と $x$軸によって囲まれた部分の面積を求める。 (4) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{4k^2 - 1}$ を $n$ を用いて表す。 (5) $OA = 2$, $OB = 3$, $\angle AOB = 60^\circ$ である三角形 $OAB$ において、辺 $AB$ を $1:3$ に内分する点を $C$ とする。 (i) $\vec{OC}$ を $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ を用いて表す。 (ii) $|\vec{OC}|$ を求める。

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

画像には、5つの数学の問題があります。

(1) 不等式 $2|x-2|-x \le 4$ を解く。

(2) 関数 $f(x) = \log_2(x-1) + 2\log_4(3-2x)$ の最大値を求める。

(3) 曲線 $y = x^3 + 2x^2$ と $x$軸によって囲まれた部分の面積を求める。

(4) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{4k^2 - 1}$ を $n$ を用いて表す。

(5) $OA = 2$, $OB = 3$, $\angle AOB = 60^\circ$ である三角形 $OAB$ において、辺 $AB$ を $1:3$ に内分する点を $C$ とする。

(i) $\vec{OC}$ を $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ を用いて表す。

(ii) $|\vec{OC}|$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 不等式 $2|x-2|-x \le 4$ を解く。

場合分けをします。

* $x \ge 2$ のとき、$2(x-2)-x \le 4$ より $2x - 4 - x \le 4$。よって $x \le 8$。したがって $2 \le x \le 8$。

* $x < 2$ のとき、$2(2-x)-x \le 4$ より $4 - 2x - x \le 4$。よって $-3x \le 0$。したがって $x \ge 0$。したがって $0 \le x < 2$。

よって、解は $0 \le x \le 8$。

(2) 関数 $f(x) = \log_2(x-1) + 2\log_4(3-2x)$ の最大値を求める。

真数条件より、$x-1 > 0$ かつ $3-2x > 0$ であるから、$1 < x < \frac{3}{2}$。

$f(x) = \log_2(x-1) + \log_2(3-2x) = \log_2((x-1)(3-2x)) = \log_2(-2x^2 + 5x - 3)$。

$g(x) = -2x^2 + 5x - 3$ とおくと、$g(x) = -2(x^2 - \frac{5}{2}x) - 3 = -2(x - \frac{5}{4})^2 + \frac{25}{8} - 3 = -2(x - \frac{5}{4})^2 + \frac{1}{8}$。

$1 < x < \frac{3}{2}$ より、$x = \frac{5}{4}$ はこの範囲に含まれる。

$g(x)$ の最大値は $\frac{1}{8}$ であり、$f(x)$ の最大値は $\log_2(\frac{1}{8}) = -3$。

(3) 曲線 $y = x^3 + 2x^2$ と $x$軸によって囲まれた部分の面積を求める。

$y = x^3 + 2x^2 = x^2(x+2)$。$y=0$ となるのは $x=0, -2$ のとき。

$-2 \le x \le 0$ で $y \le 0$ である。

面積 $S$ は $S = - \int_{-2}^{0} (x^3 + 2x^2) dx = - [\frac{1}{4}x^4 + \frac{2}{3}x^3]_{-2}^{0} = - (0 - (\frac{1}{4}(-2)^4 + \frac{2}{3}(-2)^3)) = - (- (4 - \frac{16}{3})) = - (-(\frac{12-16}{3})) = \frac{4}{3}$。

(4) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{4k^2 - 1}$ を $n$ を用いて表す。

$\frac{1}{4k^2 - 1} = \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1})$。

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{4k^2 - 1} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}) = \frac{1}{2} ((1-\frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + \cdots + (\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1})) = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{2n+1}) = \frac{1}{2} (\frac{2n+1-1}{2n+1}) = \frac{n}{2n+1}$。

(5) $OA = 2$, $OB = 3$, $\angle AOB = 60^\circ$ である三角形 $OAB$ において、辺 $AB$ を $1:3$ に内分する点を $C$ とする。

(i) $\vec{OC}$ を $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ を用いて表す。

(ii) $|\vec{OC}|$ を求める。

(i) $\vec{OC} = \frac{3\vec{OA} + 1\vec{OB}}{1+3} = \frac{3}{4}\vec{OA} + \frac{1}{4}\vec{OB}$。

(ii) $|\vec{OC}|^2 = (\frac{3}{4}\vec{OA} + \frac{1}{4}\vec{OB})^2 = \frac{9}{16}|\vec{OA}|^2 + \frac{6}{16}\vec{OA} \cdot \vec{OB} + \frac{1}{16}|\vec{OB}|^2 = \frac{9}{16}(4) + \frac{6}{16}(2)(3)\cos 60^\circ + \frac{1}{16}(9) = \frac{36}{16} + \frac{36}{16} \cdot \frac{1}{2} + \frac{9}{16} = \frac{36+18+9}{16} = \frac{63}{16}$。

$|\vec{OC}| = \sqrt{\frac{63}{16}} = \frac{3\sqrt{7}}{4}$。

3. 最終的な答え

(1) $0 \le x \le 8$

(2) $-3$

(3) $\frac{4}{3}$

(4) $\frac{n}{2n+1}$

(5) (i) $\vec{OC} = \frac{3}{4}\vec{OA} + \frac{1}{4}\vec{OB}$

(ii) $|\vec{OC}| = \frac{3\sqrt{7}}{4}$