与えられた式 $x^6 - y^6$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^6 - y^6$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x^6 - y^6$ を $(x^3)^2 - (y^3)^2$ と見て、2乗の差の公式 $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ を適用します。

$$x^6 - y^6 = (x^3)^2 - (y^3)^2 = (x^3 + y^3)(x^3 - y^3)$$

次に、$x^3 + y^3$ と $x^3 - y^3$ をそれぞれ因数分解します。

$x^3 + y^3$ は和の3乗の公式 $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ を用いて因数分解します。

$x^3 - y^3$ は差の3乗の公式 $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ を用いて因数分解します。

$x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$

$x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$

したがって、

$x^6 - y^6 = (x^3 + y^3)(x^3 - y^3) = (x + y)(x^2 - xy + y^2)(x - y)(x^2 + xy + y^2)$

並び替えて、

$x^6 - y^6 = (x + y)(x - y)(x^2 - xy + y^2)(x^2 + xy + y^2)$

さらに、$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$ であるので、

$x^6 - y^6 = (x^2 - y^2)(x^4 + x^2y^2 + y^4)$

とすることもできます。

また、$x^6 - y^6$を$(x^2)^3 - (y^2)^3$と考えて

$x^6 - y^6 = (x^2-y^2)(x^4 + x^2y^2 + y^4) = (x-y)(x+y)(x^4 + x^2y^2 + y^4)$

$x^4 + x^2y^2 + y^4$の部分は、

$x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - x^2y^2 = (x^2 + y^2)^2 - (xy)^2$

となり、$x^4 + x^2y^2 + y^4 = (x^2 + y^2 + xy)(x^2 + y^2 - xy)$ と因数分解できる。

よって、

$x^6 - y^6 = (x - y)(x + y)(x^2 - xy + y^2)(x^2 + xy + y^2)$ となる。

3. 最終的な答え

$(x - y)(x + y)(x^2 - xy + y^2)(x^2 + xy + y^2)$