与えられた4つの式を展開する問題です。 (1) $(x+1)^4 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1$ (2) $(x-2)^5$ (3) $(3x-2)^4$ (4) $(2x+1)^4$

1. 問題の内容

与えられた4つの式を展開する問題です。

(1) $(x+1)^4 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1$

(2) $(x-2)^5$

(3) $(3x-2)^4$

(4) $(2x+1)^4$

2. 解き方の手順

(1) $(x+1)^4$ について:

$(x+1)^4$ はすでに展開されているので、そのまま記載します。

(2) $(x-2)^5$ について:

二項定理を用いて展開します。二項定理は以下の通りです。

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

ここで、$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ は二項係数です。

$(x-2)^5 = \binom{5}{0}x^5(-2)^0 + \binom{5}{1}x^4(-2)^1 + \binom{5}{2}x^3(-2)^2 + \binom{5}{3}x^2(-2)^3 + \binom{5}{4}x^1(-2)^4 + \binom{5}{5}x^0(-2)^5$

$= 1 \cdot x^5 \cdot 1 + 5 \cdot x^4 \cdot (-2) + 10 \cdot x^3 \cdot 4 + 10 \cdot x^2 \cdot (-8) + 5 \cdot x \cdot 16 + 1 \cdot 1 \cdot (-32)$

$= x^5 - 10x^4 + 40x^3 - 80x^2 + 80x - 32$

(3) $(3x-2)^4$ について:

二項定理を用いて展開します。

$(3x-2)^4 = \binom{4}{0}(3x)^4(-2)^0 + \binom{4}{1}(3x)^3(-2)^1 + \binom{4}{2}(3x)^2(-2)^2 + \binom{4}{3}(3x)^1(-2)^3 + \binom{4}{4}(3x)^0(-2)^4$

$= 1 \cdot 81x^4 \cdot 1 + 4 \cdot 27x^3 \cdot (-2) + 6 \cdot 9x^2 \cdot 4 + 4 \cdot 3x \cdot (-8) + 1 \cdot 1 \cdot 16$

$= 81x^4 - 216x^3 + 216x^2 - 96x + 16$

(4) $(2x+1)^4$ について:

二項定理を用いて展開します。

$(2x+1)^4 = \binom{4}{0}(2x)^4(1)^0 + \binom{4}{1}(2x)^3(1)^1 + \binom{4}{2}(2x)^2(1)^2 + \binom{4}{3}(2x)^1(1)^3 + \binom{4}{4}(2x)^0(1)^4$

$= 1 \cdot 16x^4 \cdot 1 + 4 \cdot 8x^3 \cdot 1 + 6 \cdot 4x^2 \cdot 1 + 4 \cdot 2x \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1$

$= 16x^4 + 32x^3 + 24x^2 + 8x + 1$

3. 最終的な答え

(1) $(x+1)^4 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1$

(2) $(x-2)^5 = x^5 - 10x^4 + 40x^3 - 80x^2 + 80x - 32$

(3) $(3x-2)^4 = 81x^4 - 216x^3 + 216x^2 - 96x + 16$

(4) $(2x+1)^4 = 16x^4 + 32x^3 + 24x^2 + 8x + 1$