問題5の(4)について、$(3x^2+1)^5$の展開式における$x^6$の項の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

問題5の(4)について、$(3x^2+1)^5$の展開式における$x^6$の項の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

二項定理を利用します。一般項は

$${}_5 C_r (3x^2)^r (1)^{5-r} = {}_5 C_r 3^r x^{2r}$$

$x^{2r} = x^6$となるのは、$2r=6$、つまり$r=3$のときです。

したがって、$x^6$の項の係数は

$${}_5 C_3 3^3 = \frac{5!}{3!2!} \times 27 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \times 27 = 10 \times 27 = 270$$

3. 最終的な答え

270