与えられた式 $18a^2b^2 - 8b^4c^2$ を因数分解します。

## (1) の問題

1. 問題の内容

与えられた式 $18a^2b^2 - 8b^4c^2$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、共通因数を見つけます。この場合、$2b^2$ が共通因数です。

次に、$2b^2$ で式全体を括り出します。

$18a^2b^2 - 8b^4c^2 = 2b^2(9a^2 - 4b^2c^2)$

括弧の中身 $9a^2 - 4b^2c^2$ は、 $(3a)^2 - (2bc)^2$ と見なせるので、二乗の差の公式 $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ を適用できます。

$9a^2 - 4b^2c^2 = (3a + 2bc)(3a - 2bc)$

したがって、$18a^2b^2 - 8b^4c^2 = 2b^2(3a + 2bc)(3a - 2bc)$ となります。

3. 最終的な答え

$2b^2(3a + 2bc)(3a - 2bc)$

## (3) の問題

1. 問題の内容

与えられた式 $2x^2 + 28xy - 144y^2$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、共通因数を見つけます。この場合、2 が共通因数です。

$2x^2 + 28xy - 144y^2 = 2(x^2 + 14xy - 72y^2)$

括弧の中身 $x^2 + 14xy - 72y^2$ は、$(x + Ay)(x + By)$ の形に因数分解できるかを考えます。

$A$ と $B$ の積が $-72$ であり、$A$ と $B$ の和が $14$ となるような $A$ と $B$ を探します。

$A = 18$、 $B = -4$ が条件を満たします。

したがって、$x^2 + 14xy - 72y^2 = (x + 18y)(x - 4y)$ となります。

よって、$2x^2 + 28xy - 144y^2 = 2(x + 18y)(x - 4y)$ となります。

3. 最終的な答え

$2(x + 18y)(x - 4y)$

## (5) の問題

1. 問題の内容

与えられた式 $(x + 2y)(3x + 5y) - 4y^2$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、式を展開します。

$(x + 2y)(3x + 5y) - 4y^2 = 3x^2 + 5xy + 6xy + 10y^2 - 4y^2$

$= 3x^2 + 11xy + 6y^2$

次に、$3x^2 + 11xy + 6y^2$ を因数分解します。

$(ax + by)(cx + dy)$ の形を考えます。

$ac = 3$, $bd = 6$, $ad + bc = 11$ を満たす $a, b, c, d$ を探します。

$a = 3, b = 2, c = 1, d = 3$ が条件を満たします。

したがって、$3x^2 + 11xy + 6y^2 = (3x + 2y)(x + 3y)$ となります。

3. 最終的な答え

$(3x + 2y)(x + 3y)$