与えられたベクトルの組が1次独立であるか、1次従属であるかを判定する問題です。 (1) $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ (2) $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられたベクトルの組が1次独立であるか、1次従属であるかを判定する問題です。

(1) $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

(2) $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

ベクトルの組が1次独立であるか、1次従属であるかを判定するには、これらのベクトルを列ベクトルとする行列の行列式を計算します。行列式が0でなければ、1次独立であり、0であれば1次従属です。

(1)

与えられたベクトルを列ベクトルとする行列は、

$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

この行列の行列式は、

$det(A) = 1(0\times1 - 1\times1) - 1(1\times1 - 0\times1) + 0(1\times1 - 0\times0) = 1(-1) - 1(1) + 0 = -1 - 1 = -2$

$det(A) = -2 \neq 0$なので、これらのベクトルは1次独立です。

(2)

与えられたベクトルを列ベクトルとする行列は、

$B = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 2 \end{bmatrix}$

この行列の行列式は、

$det(B) = 1(2\times2 - 3\times2) - 1(1\times2 - 3\times2) + 1(1\times2 - 2\times2) = 1(4 - 6) - 1(2 - 6) + 1(2 - 4) = 1(-2) - 1(-4) + 1(-2) = -2 + 4 - 2 = 0$

$det(B) = 0$なので、これらのベクトルは1次従属です。

3. 最終的な答え

(1) 1次独立

(2) 1次従属