与えられた行列とベクトルの積を、3つのベクトルの一次結合で表すときの、各係数に対応するベクトルを求める問題です。具体的には、 $\begin{pmatrix} 5 & 4 & 4 \\ 3 & 5 & 2 \\ 4 & 5 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ 8 \end{pmatrix} = 3 \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} + 7 \begin{pmatrix} d \\ e \\ f \end{pmatrix} + 8 \begin{pmatrix} g \\ h \\ i \end{pmatrix}$ を満たす3つのベクトル $\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} d \\ e \\ f \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} g \\ h \\ i \end{pmatrix}$ を求める必要があります。

1. 問題の内容

与えられた行列とベクトルの積を、3つのベクトルの一次結合で表すときの、各係数に対応するベクトルを求める問題です。具体的には、

$\begin{pmatrix} 5 & 4 & 4 \\ 3 & 5 & 2 \\ 4 & 5 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ 8 \end{pmatrix} = 3 \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} + 7 \begin{pmatrix} d \\ e \\ f \end{pmatrix} + 8 \begin{pmatrix} g \\ h \\ i \end{pmatrix}$

を満たす3つのベクトル $\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} d \\ e \\ f \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} g \\ h \\ i \end{pmatrix}$ を求める必要があります。

2. 解き方の手順

左辺の行列とベクトルの積を計算します。

$\begin{pmatrix} 5 & 4 & 4 \\ 3 & 5 & 2 \\ 4 & 5 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \cdot 3 + 4 \cdot 7 + 4 \cdot 8 \\ 3 \cdot 3 + 5 \cdot 7 + 2 \cdot 8 \\ 4 \cdot 3 + 5 \cdot 7 + 5 \cdot 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 + 28 + 32 \\ 9 + 35 + 16 \\ 12 + 35 + 40 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 75 \\ 60 \\ 87 \end{pmatrix}$

右辺の係数3, 7, 8は、左辺の行列の列ベクトルに対応します。つまり、

$\begin{pmatrix} 75 \\ 60 \\ 87 \end{pmatrix} = 3 \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + 7 \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix} + 8 \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}$

となります。したがって、求める3つのベクトルはそれぞれ $\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}$ です。

3. 最終的な答え

$\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}$