与えられた行列 $A$ によって定まる線形写像 $T_A$ の像の次元と、基本ベクトル $e_1$ の $T_A$ による像の第4成分を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ によって定まる線形写像 $T_A$ の像の次元と、基本ベクトル $e_1$ の $T_A$ による像の第4成分を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 行列 $A$ の簡約化を行い、ランク（階数）を求めます。行列のランクは、線形独立な列ベクトルの数に等しく、線形写像 $T_A$ の像の次元となります。

$A = \begin{pmatrix} -6 & -22 & -2 & 8 \\ -10 & -24 & -5 & 1 \\ -19 & 23 & -20 & 3 \\ 22 & 14 & -27 & -28 \\ 17 & -15 & 19 & 18 \\ 11 & 15 & 30 & 29 \\ -12 & -7 & 27 & -26 \end{pmatrix}$

この行列を簡約化すると、ランクは4になります。(この簡約化の過程は複雑なので、詳細は省略します。手計算もしくは計算ソフトを用いて求めます。)

したがって、線形写像 $T_A$ の像の次元は4です。

(2) 基本ベクトル $e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ の $T_A$ による像を求めます。これは、行列 $A$ の第一列のベクトルに相当します。

$T_A(e_1) = A e_1 = \begin{pmatrix} -6 \\ -10 \\ -19 \\ 22 \\ 17 \\ 11 \\ -12 \end{pmatrix}$

(3) $T_A(e_1)$ の第4成分は22です。

3. 最終的な答え

行列 $A$ の定める写像 $T_A$ は 4 次元数ベクトル空間 $V$ から 7 次元数ベクトル空間 $W$ への線形写像を定めます。また、$V$ の基本ベクトル $e_1$ の $T_A$ による像の第4成分は 22 です。