(1) 軸の方程式が $x=-2$ で、2点 $(0, -1)$、 $(-3, -4)$ を通る放物線をグラフにもつ2次関数を求めよ。 (2) 3点 $(0, 17)$、 $(1, 7)$、 $(2, 1)$ を通る放物線をグラフとする2次関数を求めよ。 (3) 2次関数のグラフが $x$ 軸と2点 $(-2, 0)$、 $(3, 0)$ で交わり、$y$ 軸と点 $(0, 6)$ で交わるとき、この2次関数を求めよ。 (4) 2次関数 $y = 2x^2 + 3x - 5$ のグラフを平行移動して得られる曲線で2点 $(0, -14)$、 $(2, 4)$ を通る曲線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 軸の方程式が $x=-2$ で、2点 $(0, -1)$、 $(-3, -4)$ を通る放物線をグラフにもつ2次関数を求めよ。

(2) 3点 $(0, 17)$、 $(1, 7)$、 $(2, 1)$ を通る放物線をグラフとする2次関数を求めよ。

(3) 2次関数のグラフが $x$ 軸と2点 $(-2, 0)$、 $(3, 0)$ で交わり、$y$ 軸と点 $(0, 6)$ で交わるとき、この2次関数を求めよ。

(4) 2次関数 $y = 2x^2 + 3x - 5$ のグラフを平行移動して得られる曲線で2点 $(0, -14)$、 $(2, 4)$ を通る曲線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 求める2次関数を $y = a(x + 2)^2 + q$ とおく。点 $(0, -1)$ を通るから、

$-1 = a(0 + 2)^2 + q$

$-1 = 4a + q$ ...(1)

点 $(-3, -4)$ を通るから、

$-4 = a(-3 + 2)^2 + q$

$-4 = a + q$ ...(2)

(1) - (2) より、

$3 = 3a$

$a = 1$

(2)に代入して、

$-4 = 1 + q$

$q = -5$

したがって、求める2次関数は $y = (x + 2)^2 - 5 = x^2 + 4x + 4 - 5 = x^2 + 4x - 1$

(2) 求める2次関数を $y = ax^2 + bx + c$ とおく。点 $(0, 17)$ を通るから、

$17 = a(0)^2 + b(0) + c$

$c = 17$ ...(1)

点 $(1, 7)$ を通るから、

$7 = a(1)^2 + b(1) + c$

$7 = a + b + c$ ...(2)

点 $(2, 1)$ を通るから、

$1 = a(2)^2 + b(2) + c$

$1 = 4a + 2b + c$ ...(3)

(2)に(1)を代入して、

$7 = a + b + 17$

$a + b = -10$ ...(4)

(3)に(1)を代入して、

$1 = 4a + 2b + 17$

$4a + 2b = -16$

$2a + b = -8$ ...(5)

(5) - (4) より、

$a = 2$

(4)に代入して、

$2 + b = -10$

$b = -12$

したがって、求める2次関数は $y = 2x^2 - 12x + 17$

(3) 求める2次関数を $y = a(x + 2)(x - 3)$ とおく。点 $(0, 6)$ を通るから、

$6 = a(0 + 2)(0 - 3)$

$6 = -6a$

$a = -1$

したがって、求める2次関数は $y = -(x + 2)(x - 3) = -(x^2 - x - 6) = -x^2 + x + 6$

(4) 平行移動後の2次関数を $y = 2(x - p)^2 + 3(x - p) - 5 + q$ とおく。点 $(0, -14)$ を通るから、

$-14 = 2(-p)^2 + 3(-p) - 5 + q$

$-14 = 2p^2 - 3p - 5 + q$

$q = -2p^2 + 3p - 9$ ...(1)

点 $(2, 4)$ を通るから、

$4 = 2(2 - p)^2 + 3(2 - p) - 5 + q$

$4 = 2(4 - 4p + p^2) + 6 - 3p - 5 + q$

$4 = 8 - 8p + 2p^2 + 1 - 3p + q$

$q = -2p^2 + 11p - 5$ ...(2)

(1) = (2) より、

$-2p^2 + 3p - 9 = -2p^2 + 11p - 5$

$-8p = 4$

$p = -\frac{1}{2}$

(1)に代入して、

$q = -2(-\frac{1}{2})^2 + 3(-\frac{1}{2}) - 9 = -2(\frac{1}{4}) - \frac{3}{2} - 9 = -\frac{1}{2} - \frac{3}{2} - 9 = -2 - 9 = -11$

したがって、求める2次関数は $y = 2(x + \frac{1}{2})^2 + 3(x + \frac{1}{2}) - 5 - 11 = 2(x^2 + x + \frac{1}{4}) + 3x + \frac{3}{2} - 16 = 2x^2 + 2x + \frac{1}{2} + 3x + \frac{3}{2} - 16 = 2x^2 + 5x - 14$

3. 最終的な答え

(1) $y = x^2 + 4x - 1$

(2) $y = 2x^2 - 12x + 17$

(3) $y = -x^2 + x + 6$

(4) $y = 2x^2 + 5x - 14$

ア = 2, イ = 5, ウ = 14