この問題は、ダイヤモンドの結晶構造に関するものです。以下の3つの問いに答えます。 (1) 単位格子に含まれる炭素原子の数を求めます。 (2) $0.50 \text{ cm}^3$ のダイヤモンドに含まれる炭素原子の数を有効数字2桁で求めます。 (3) 最も近い炭素原子間の距離を、単位格子の一辺の長さ $a$ を用いて表します。

1. 問題の内容

この問題は、ダイヤモンドの結晶構造に関するものです。以下の3つの問いに答えます。

(1) 単位格子に含まれる炭素原子の数を求めます。

(2) $0.50 \text{ cm}^3$ のダイヤモンドに含まれる炭素原子の数を有効数字2桁で求めます。

(3) 最も近い炭素原子間の距離を、単位格子の一辺の長さ $a$ を用いて表します。

2. 解き方の手順

(1) 単位格子に含まれる炭素原子の数を求める

* 頂点の炭素原子：8個の頂点にあり、それぞれ1/8が単位格子に含まれるので、 $8 \times \frac{1}{8} = 1$ 個。

* 面の中心の炭素原子：6個の面の中心にあり、それぞれ1/2が単位格子に含まれるので、 $6 \times \frac{1}{2} = 3$ 個。

* 内部の炭素原子：8等分された小立方体のうち、1つおきに中心に炭素原子があるので、4個の炭素原子が単位格子内に完全に含まれる。

合計: $1 + 3 + 4 = 8$ 個

(2) $0.50 \text{ cm}^3$ のダイヤモンドに含まれる炭素原子の数を求める

* 単位格子の体積: $V = a^3 = (3.6 \times 10^{-8} \text{ cm})^3 = 3.6^3 \times 10^{-24} \text{ cm}^3$

与えられた近似値 $3.6^3 = 47$ を使うと、$V = 47 \times 10^{-24} \text{ cm}^3$

* $0.50 \text{ cm}^3$ に含まれる単位格子の数: $\frac{0.50}{47 \times 10^{-24}} = \frac{0.50}{47} \times 10^{24}$

* $0.50 \text{ cm}^3$ に含まれる炭素原子の数: $\frac{0.50}{47} \times 10^{24} \times 8 = \frac{4}{47} \times 10^{24} \approx 0.085 \times 10^{24} = 8.5 \times 10^{22}$

有効数字2桁で表すと、 $8.5 \times 10^{22}$ 個。

(3) 最も近い炭素原子間の距離を求める

小立方体に着目すると、中心の炭素原子と頂点の炭素原子が最も近い。

小立方体の一辺の長さは $a/2$ である。

中心の炭素原子から頂点の炭素原子への距離は、小立方体の対角線の半分になる。

小立方体の対角線の長さは $\sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{3(\frac{a}{2})^2} = \frac{\sqrt{3}}{2} a$

したがって、最も近い炭素原子間の距離は、 $\frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}a \times 2= \frac{\sqrt{3}}{4} a$

3. 最終的な答え

(1) 8個

(2) $8.5 \times 10^{22}$ 個

(3) $\frac{\sqrt{3}}{4} a$