与えられた式 $27a^3 - 27a^2b + 9ab^2 - b^3$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $27a^3 - 27a^2b + 9ab^2 - b^3$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

この式は $(A - B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$ という因数分解の公式の形に似ています。

$A^3 = 27a^3$ なので、$A = 3a$ となります。

$B^3 = b^3$ なので、$B = b$ となります。

$3A^2B = 3(3a)^2b = 3(9a^2)b = 27a^2b$ となり、2項目と一致します。

$3AB^2 = 3(3a)b^2 = 9ab^2$ となり、3項目と一致します。

したがって、与えられた式は $(3a - b)^3$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(3a - b)^3$