行列$A$による線形写像$T_A$が、$\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix}$を$\begin{pmatrix} -8 \\ -8 \\ -6 \end{pmatrix}$に、$\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}$を$\begin{pmatrix} 7 \\ -11 \\ 10 \end{pmatrix}$に写すとき、$\begin{pmatrix} 6 \\ -8 \\ -4 \end{pmatrix}$の像を求める問題です。

1. 問題の内容

行列$A$による線形写像$T_A$が、$\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix}$を$\begin{pmatrix} -8 \\ -8 \\ -6 \end{pmatrix}$に、$\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}$を$\begin{pmatrix} 7 \\ -11 \\ 10 \end{pmatrix}$に写すとき、$\begin{pmatrix} 6 \\ -8 \\ -4 \end{pmatrix}$の像を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\begin{pmatrix} 6 \\ -8 \\ -4 \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}$ となる $c_1, c_2$ を求める。

連立方程式

$c_1 + 2c_2 = 6$

$-c_1 - 3c_2 = -8$

$-3c_1 + c_2 = -4$

を解く。

最初の2式から、

$-c_2 = -2$

$c_2 = 2$

$c_1 = 6 - 2c_2 = 6 - 4 = 2$

$c_1=2, c_2=2$を3番目の式に代入すると、

$-3(2) + 2 = -6 + 2 = -4$となり、成立する。

よって、$c_1 = 2, c_2 = 2$

(2) $T_A(\begin{pmatrix} 6 \\ -8 \\ -4 \end{pmatrix}) = c_1 T_A(\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix}) + c_2 T_A(\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix})$

$= 2 \begin{pmatrix} -8 \\ -8 \\ -6 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} 7 \\ -11 \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -16 \\ -16 \\ -12 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 14 \\ -22 \\ 20 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -38 \\ 8 \end{pmatrix}$

(3) $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ e & f \end{pmatrix}$とすると、

$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ e & f \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a-b-3c \\ c-d-3e \\ e-f-3g\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 \\ -8 \\ -6 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ e & f \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a-3b+c \\ 2c-3d+e \\ 2e-3f+g\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ -11 \\ 10 \end{pmatrix}$

ただし、これらの式を満たす3x3の行列Aは一意に定まらない。

例：$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

[c1, c2] = [2,2]

$\begin{pmatrix} -2 \\ -38 \\ 8 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$