3次方程式 $x^3 + x^2 + 2x - 3 = 0$ の3つの解を $\alpha, \beta, \gamma$ とするとき、以下の値を求めます。 (1) $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2$ (2) $\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3$

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + x^2 + 2x - 3 = 0$ の3つの解を $\alpha, \beta, \gamma$ とするとき、以下の値を求めます。

(1) $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2$

(2) $\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3$

2. 解き方の手順

まず、解と係数の関係から、以下の式が成り立ちます。

$\alpha + \beta + \gamma = -1$

$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = 2$

$\alpha\beta\gamma = 3$

(1) $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2$ を求めます。

$(\alpha + \beta + \gamma)^2 = \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 + 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)$

$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (\alpha + \beta + \gamma)^2 - 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)$

それぞれの値を代入すると、

$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (-1)^2 - 2(2) = 1 - 4 = -3$

(2) $\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3$ を求めます。

$\alpha, \beta, \gamma$ は $x^3 + x^2 + 2x - 3 = 0$ の解なので、

$\alpha^3 + \alpha^2 + 2\alpha - 3 = 0$

$\beta^3 + \beta^2 + 2\beta - 3 = 0$

$\gamma^3 + \gamma^2 + 2\gamma - 3 = 0$

これらの式を足し合わせると、

$(\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3) + (\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2) + 2(\alpha + \beta + \gamma) - 9 = 0$

$\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 = -(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2) - 2(\alpha + \beta + \gamma) + 9$

(1)で求めた $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = -3$ と $\alpha + \beta + \gamma = -1$ を代入すると、

$\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 = -(-3) - 2(-1) + 9 = 3 + 2 + 9 = 14$

3. 最終的な答え

(1) $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = -3$

(2) $\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 = 14$