与えられた等式 $a^4 + b^4 = \frac{1}{2}\{(a^2 + b^2)^2 + (a+b)^2(a-b)^2\}$ を証明せよ。

1. 問題の内容

与えられた等式 $a^4 + b^4 = \frac{1}{2}\{(a^2 + b^2)^2 + (a+b)^2(a-b)^2\}$ を証明せよ。

2. 解き方の手順

右辺を展開し、整理することで左辺と等しくなることを示す。

まず、右辺を展開する。

$\frac{1}{2}\{(a^2 + b^2)^2 + (a+b)^2(a-b)^2\} = \frac{1}{2}\{(a^4 + 2a^2b^2 + b^4) + (a^2 + 2ab + b^2)(a^2 - 2ab + b^2)\}$

次に、$(a+b)^2(a-b)^2$ の部分を展開する。

$(a+b)^2(a-b)^2 = ((a+b)(a-b))^2 = (a^2 - b^2)^2 = a^4 - 2a^2b^2 + b^4$

これを元の式に代入する。

$\frac{1}{2}\{(a^4 + 2a^2b^2 + b^4) + (a^4 - 2a^2b^2 + b^4)\} = \frac{1}{2}\{2a^4 + 2b^4\} = a^4 + b^4$

したがって、右辺は左辺と等しくなる。

3. 最終的な答え

$a^4 + b^4 = a^4 + b^4$

よって、与えられた等式は証明された。