3次方程式 $4x^3 - 6x^2 - 27x + 2 = 0$ を解く問題です。

1. 問題の内容

3次方程式 $4x^3 - 6x^2 - 27x + 2 = 0$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

この3次方程式は、有理数解を持つ可能性があるため、有理根定理を利用して解を探索します。

有理根定理によれば、この方程式の有理数解の候補は、定数項（2）の約数 ÷ 最高次の係数（4）の約数 で与えられます。

したがって、候補は $\pm 1, \pm 2, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}$ です。

これらの候補を順に代入して、方程式を満たすものを探します。

$x = \frac{1}{2}$ を代入すると、

$4(\frac{1}{2})^3 - 6(\frac{1}{2})^2 - 27(\frac{1}{2}) + 2 = 4(\frac{1}{8}) - 6(\frac{1}{4}) - \frac{27}{2} + 2 = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} - \frac{27}{2} + \frac{4}{2} = \frac{1-3-27+4}{2} = \frac{-25}{2} \neq 0$

$x = -\frac{1}{2}$ を代入すると、

$4(-\frac{1}{2})^3 - 6(-\frac{1}{2})^2 - 27(-\frac{1}{2}) + 2 = 4(-\frac{1}{8}) - 6(\frac{1}{4}) + \frac{27}{2} + 2 = -\frac{1}{2} - \frac{3}{2} + \frac{27}{2} + \frac{4}{2} = \frac{-1-3+27+4}{2} = \frac{27}{2} \neq 0$

$x = 2$ を代入すると、

$4(2)^3 - 6(2)^2 - 27(2) + 2 = 4(8) - 6(4) - 54 + 2 = 32 - 24 - 54 + 2 = -44 \neq 0$

$x = -2$ を代入すると、

$4(-2)^3 - 6(-2)^2 - 27(-2) + 2 = 4(-8) - 6(4) + 54 + 2 = -32 - 24 + 54 + 2 = 0$

したがって、$x = -2$ は解の一つです。

$x = -2$ が解なので、多項式 $4x^3 - 6x^2 - 27x + 2$ は $(x+2)$ で割り切れるはずです。実際に割り算を行うと、

$4x^3 - 6x^2 - 27x + 2 = (x+2)(4x^2 - 14x + 1)$

となります。したがって、$4x^2 - 14x + 1 = 0$ の解を求めれば、残りの解が得られます。

二次方程式の解の公式より、$ax^2 + bx + c = 0$ の解は $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ で与えられるので、

$4x^2 - 14x + 1 = 0$ の解は、

$x = \frac{14 \pm \sqrt{(-14)^2 - 4(4)(1)}}{2(4)} = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 16}}{8} = \frac{14 \pm \sqrt{180}}{8} = \frac{14 \pm 6\sqrt{5}}{8} = \frac{7 \pm 3\sqrt{5}}{4}$

3. 最終的な答え

$x = -2, \frac{7 + 3\sqrt{5}}{4}, \frac{7 - 3\sqrt{5}}{4}$