全体集合 $U$ の部分集合 $A$, $B$ について、要素の個数がそれぞれ $n(U) = 40$, $n(A) = 18$, $n(B) = 25$, $n(A \cap B) = 6$ であるとき、以下の個数を求めます。 (1) $n(\overline{B})$ (2) $n(\overline{A \cup B})$ (3) $n(\overline{A} \cap \overline{B})$

1. 問題の内容

全体集合 $U$ の部分集合 $A$, $B$ について、要素の個数がそれぞれ $n(U) = 40$, $n(A) = 18$, $n(B) = 25$, $n(A \cap B) = 6$ であるとき、以下の個数を求めます。

(1) $n(\overline{B})$

(2) $n(\overline{A \cup B})$

(3) $n(\overline{A} \cap \overline{B})$

2. 解き方の手順

(1) $n(\overline{B})$ を求める。

$\overline{B}$ は $B$ の補集合なので、$n(\overline{B}) = n(U) - n(B)$ で計算できます。

$n(\overline{B}) = 40 - 25 = 15$

(2) $n(\overline{A \cup B})$ を求める。

$\overline{A \cup B}$ は $A \cup B$ の補集合なので、$n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B)$ で計算できます。

まず、$n(A \cup B)$ を求めます。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

$n(A \cup B) = 18 + 25 - 6 = 37$

次に、$n(\overline{A \cup B})$ を求めます。

$n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B) = 40 - 37 = 3$

(3) $n(\overline{A} \cap \overline{B})$ を求める。

ド・モルガンの法則より $\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}$ なので、$n(\overline{A} \cap \overline{B}) = n(\overline{A \cup B})$ となります。

したがって、$n(\overline{A} \cap \overline{B}) = 3$

3. 最終的な答え

(1) $n(\overline{B}) = 15$

(2) $n(\overline{A \cup B}) = 3$

(3) $n(\overline{A} \cap \overline{B}) = 3$