与えられた2次方程式 $ax^2 - bx + c = 0$ の係数 $a$, $b$, $c$ を求め、与えられた解の公式を用いて係数を決定する問題です。解の公式から、$a$, $b$, $c$ の値を求める必要があります。具体的には、$a=3 \times 2 = 6$, $b=5$, そして $c$ を求める必要があります。

1. 問題の内容

与えられた2次方程式 $ax^2 - bx + c = 0$ の係数 $a$, $b$, $c$ を求め、与えられた解の公式を用いて係数を決定する問題です。解の公式から、$a$, $b$, $c$ の値を求める必要があります。具体的には、$a=3 \times 2 = 6$, $b=5$, そして $c$ を求める必要があります。

2. 解き方の手順

与えられた解は $x = \frac{7 \pm \sqrt{41}}{4}$です。これは2次方程式の解の公式

$x = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}$

と比較して考えます。

ここで、$ax^2 - bx + c = 0$ なので、$A = a$, $B = -b$, $C = c$ とすると、

$x = \frac{b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

となります。

与えられた解の分母は4なので、$2a = 4$、つまり $a = 2$。しかし、与えられた選択肢では、(30)は3と2なので、$a = 3 \times 2 = 6$となります。したがって解の公式は

$x = \frac{b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{12}$

となります。与えられた解の分子は$7 \pm \sqrt{41}$ なので、これらを比較します。

まず、$b/12 = 7/4$ ではないので、与えられた2次方程式を書き換える必要があります。

$a=6$ より、

$x = \frac{5 \pm \sqrt{5^2-4 \times 6 \times c}}{12} = \frac{5 \pm \sqrt{25-24c}}{12}$

として考えるのではなく、

$x = \frac{7 \pm \sqrt{41}}{4}$の形になるように、

与えられた解の公式 $x = \frac{b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$と比較することを考えます。$a=3 \times 2 = 6$, $b=5$です。

解の公式は、$x = \frac{5 \pm \sqrt{25-24c}}{12}$となります。

ここで、与えられた解は$x = \frac{7 \pm \sqrt{41}}{4}$なので、

$x = \frac{3 \cdot 7 \pm 3 \sqrt{41}}{12} = \frac{21 \pm \sqrt{9 \cdot 41}}{12} = \frac{21 \pm \sqrt{369}}{12}$

と考えると、うまくいきません。

$2a = 4$ より、$a = 2$ ですが、$a = 3 \times 2 = 6$ でなければなりません。解の公式から、$b=5$です。

$x = \frac{b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{41}}{4}$から、$2a=4$なので、$a=2$です。

$b^2-4ac=41$かつ$b=7$なので、$49-4(2)c=41$から$49-8c=41$なので$8c=8$となり、$c=1$です。

しかし、$a=3 \times 2 = 6$，$b=5$を与えられているので、うまくいきません。

与えられた解から、$b = \alpha (7)$, $a= \alpha(4/2)=2\alpha$の形になるはずです。

ここで$a = 3 \times 2 = 6, b = 5$なので、

$6x^2 - 5x + c = 0$

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24c}}{12}$

これが$x = \frac{7 \pm \sqrt{41}}{4} = \frac{21 \pm 3\sqrt{41}}{12}$となればよい。

$25 - 24c = 9(41) = 369$, $24c = 25-369 = -344$なので、$c = -\frac{344}{24} = -\frac{43}{3}$となります。

$a = 6, b = 5$を与えられているので解の公式は、$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24c}}{12}$となります。

これが与えられた解と一致するためには、$x = \frac{7 \pm \sqrt{41}}{4} = \frac{21 \pm \sqrt{9 \cdot 41}}{12} = \frac{21 \pm \sqrt{369}}{12}$とならなければなりません。

しかし、$b = 5$と$b = 21$が一致しません。問題に誤りがある可能性があります。

問題文より $2a=4$なので$a=2$ です.　ただし，$a = (30)$　なので，$(30) = 2$ です．また与えられた選択肢では　$a = 3 \times 2 = 6$となります．

問題文を信じるならば，$a=2$　かつ　$b=5$. 解の公式により

$25 - 8c$ = 41

$8c = -16$

$c = -2$

したがって、(32) = -2 です.

$6 x^2 - 5 x -2=0$を解くと、　$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4\times 6 \times (-2)}}{12} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 48}}{12} = \frac{5 \pm \sqrt{73}}{12}$. これは答えと異なる.

解は　$x = \frac{7 \pm \sqrt{41}}{4}$, したがって 2次方程式は　$4x = 7 \pm \sqrt{41}$

$4x - 7 = \pm \sqrt{41}$　両辺2乗して，　$(4x-7)^2=41$

$16x^2 - 56 x + 49 - 41=0$

$16x^2 - 56 x + 8 = 0$.

$2 x^2 - 7 x + 1 = 0$

3. 最終的な答え

(30) = 2, (31) = 5, (32) = ? と与えられています。

与えられた解の公式を用いて、$a = 2, b = 5$の場合、

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25-8c}}{4}$

となります。この解が$x = \frac{7 \pm \sqrt{41}}{4}$と与えられているので、問題に誤りがあるか、あるいは(30) = 2ではなく6だと考える必要があります。

(30) = 6, (31) = 5の場合、$x = \frac{5 \pm \sqrt{25-24c}}{12} = \frac{7 \pm \sqrt{41}}{4}$と比較しても一致しません。

(32) = -2

問題の設定から、(30) = 2と考えると、$a=2$, $b=5$なので

$25 - 8c = (7/2)^2-41 = (7 - \sqrt{41}) (7+\sqrt{41})$はありえません.

したがって、(32) = -2となります。