$x^3 + 3xy + y^3 - 1$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

$x^3 + 3xy + y^3 - 1$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x^3 + y^3 - 1 + 3xy$ と並び替えます。

$x^3 + y^3$ の部分を因数分解する公式 $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$ を利用します。

$x^3 + y^3 - 1 + 3xy = (x+y)(x^2-xy+y^2) - 1 + 3xy$ となります。

ここで、$1 = 1^3$ と考えると、$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ の形を利用することを考えます。

$x^3 + y^3 - 1 = (x+y)(x^2 -xy + y^2) - 1^3$

$x^3 + y^3 + (-1)^3 - 3xy(-1)$ と考えます。

因数分解の公式 $x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$ を使います。

与式は $x^3 + y^3 + (-1)^3 -3xy(-1) = x^3 + y^3 + (-1)^3 + 3xy$ となるので、この公式を適用できます。

$x^3 + y^3 + (-1)^3 + 3xy = (x+y-1)(x^2 + y^2 + (-1)^2 - xy - y(-1) - x(-1))$

$= (x+y-1)(x^2 + y^2 + 1 - xy + y + x)$

$= (x+y-1)(x^2+y^2-xy+x+y+1)$

3. 最終的な答え

$(x+y-1)(x^2+y^2-xy+x+y+1)$