与えられた3x4の行列を簡約化すること。特に、まず2行目を1/2倍することが指示されています。行列は以下の通りです。 $ \begin{pmatrix} -2 & 2 & -3 & -2 \\ 2 & -2 & 4 & 4 \\ 3 & -3 & 3 & 1 \end{pmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた3x4の行列を簡約化すること。特に、まず2行目を1/2倍することが指示されています。行列は以下の通りです。

$$

\begin{pmatrix}

-2 & 2 & -3 & -2 \\

2 & -2 & 4 & 4 \\

3 & -3 & 3 & 1

\end{pmatrix}

$$

2. 解き方の手順

ステップ1: 2行目を1/2倍します。

$$

\begin{pmatrix}

-2 & 2 & -3 & -2 \\

1 & -1 & 2 & 2 \\

3 & -3 & 3 & 1

\end{pmatrix}

$$

ステップ2: 1行目に2行目の2倍を加えます。（1行目 + 2行目 * 2）

$$

\begin{pmatrix}

0 & 0 & 1 & 2 \\

1 & -1 & 2 & 2 \\

3 & -3 & 3 & 1

\end{pmatrix}

$$

ステップ3: 3行目から2行目の3倍を引きます。（3行目 - 2行目 * 3）

$$

\begin{pmatrix}

0 & 0 & 1 & 2 \\

1 & -1 & 2 & 2 \\

0 & 0 & -3 & -5

\end{pmatrix}

$$

ステップ4: 3行目に1行目の3倍を加えます。（3行目 + 1行目 * 3）

$$

\begin{pmatrix}

0 & 0 & 1 & 2 \\

1 & -1 & 2 & 2 \\

0 & 0 & 0 & 1

\end{pmatrix}

$$

ステップ5: 1行目から3行目の2倍を引きます。（1行目 - 3行目 * 2）

$$

\begin{pmatrix}

0 & 0 & 1 & 0 \\

1 & -1 & 2 & 2 \\

0 & 0 & 0 & 1

\end{pmatrix}

$$

ステップ6: 2行目から3行目の2倍を引きます。（2行目 - 3行目 * 2）

$$

\begin{pmatrix}

0 & 0 & 1 & 0 \\

1 & -1 & 2 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 1

\end{pmatrix}

$$

ステップ7: 2行目から1行目の2倍を引きます。（2行目 - 1行目 * 2）

$$

\begin{pmatrix}

0 & 0 & 1 & 0 \\

1 & -1 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 1

\end{pmatrix}

$$

ステップ8: 1行目と2行目を入れ替えます。

$$

\begin{pmatrix}

1 & -1 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 1

\end{pmatrix}

$$

3. 最終的な答え

簡約化された行列は以下の通りです。

$$

\begin{pmatrix}

1 & -1 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 1

\end{pmatrix}

$$