$a > 0$を定数とする。2次関数 $y = -x^2 + 6x + 4$ ($0 \leqq x \leqq a$) について、以下の問いに答える。 (1) グラフの頂点の座標を求めよ。 (2) 最大値を求めよ。

1. 問題の内容

$a > 0$を定数とする。2次関数 $y = -x^2 + 6x + 4$ ($0 \leqq x \leqq a$) について、以下の問いに答える。

(1) グラフの頂点の座標を求めよ。

(2) 最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 頂点の座標を求める。

まず、与えられた2次関数を平方完成する。

$y = -x^2 + 6x + 4 = -(x^2 - 6x) + 4 = -(x^2 - 6x + 9 - 9) + 4 = -(x - 3)^2 + 9 + 4 = -(x - 3)^2 + 13$

したがって、頂点の座標は $(3, 13)$である。

(2) 最大値を求める。

定義域が $0 \leqq x \leqq a$ であることに注意する。軸は $x = 3$である。

(i) $0 < a \leqq 3$ のとき、定義域内で $x = 3$のときに最大値をとる。つまり、$x = 3$のとき $y = 13$が最大値となる。

(ii) $a > 3$ のとき、定義域内で $x = 3$のときに最大値をとる。つまり、$x = 3$のとき $y = 13$が最大値となる。

従って、 $0 < a$ のとき、常に頂点で最大値をとるので、$y=13$ が最大値となる。

3. 最終的な答え

(1) 頂点の座標：$(3, 13)$

(2) 最大値：$13$