2次関数 $y=x^2$ のグラフを平行移動して、2点 $(c, 0)$ と $(c+4, 0)$ を通るグラフ $G$ を得る。グラフ $G$ を持つ2次関数を $c$ を用いて表し、さらに $G$ が点 $(3, -1)$ を通るとき、 $G$ が $y=x^2$ のグラフを $x$ 軸方向と $y$ 軸方向にどれだけ平行移動したかを求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y=x^2$ のグラフを平行移動して、2点 $(c, 0)$ と $(c+4, 0)$ を通るグラフ $G$ を得る。グラフ $G$ を持つ2次関数を $c$ を用いて表し、さらに $G$ が点 $(3, -1)$ を通るとき、 $G$ が $y=x^2$ のグラフを $x$ 軸方向と $y$ 軸方向にどれだけ平行移動したかを求める。

2. 解き方の手順

(1) グラフ $G$ の方程式を求める。

$G$ は $x=c$ と $x=c+4$ で $y=0$ となるので、$G$ の方程式は

$y = (x-c)(x-(c+4))$

と表せる。展開すると

$y = x^2 - (c + c + 4)x + c(c+4)$

$y = x^2 - (2c+4)x + c(c+4)$

よって、アには4、イには4が入る。

(2) $G$ が点 $(3, -1)$ を通ることから、$c$ の値を求める。

$x=3$, $y=-1$ を代入すると、

$-1 = 3^2 - (2c+4) \cdot 3 + c(c+4)$

$-1 = 9 - 6c - 12 + c^2 + 4c$

$0 = c^2 - 2c -1 + 9 - 12$

$0 = c^2 - 2c - 4$

$c = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-4)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}$

$2 \le c \le 3$ より、$c = 1 + \sqrt{5}$ 。

(3) $G$ の方程式を平方完成する。

$y = x^2 - (2c+4)x + c(c+4)$

$y = (x - (c+2))^2 - (c+2)^2 + c(c+4)$

$y = (x - (c+2))^2 - (c^2 + 4c + 4) + c^2 + 4c$

$y = (x - (c+2))^2 - 4$

したがって、$y=x^2$ のグラフを $x$ 軸方向に $c+2$, $y$ 軸方向に $-4$ だけ平行移動したものである。

$c = 1 + \sqrt{5}$ なので、$x$ 軸方向には $3 + \sqrt{5}$ だけ平行移動したことになる。

よって、ウには3、エには5が入る。

(4) $y$ 軸方向の移動量は $-4$ なので、オカには -4 が入る。

3. 最終的な答え

ア: 4

イ: 4

ウ: 3

エ: 5

オカ: -4