次の連立一次方程式について、解を持つように定数 $a$ の値を定め、その時の拡大係数行列の階数を求め、解を求めよ。 $x_1 + x_2 + 2x_3 + x_4 = 2$ $2x_1 + x_3 = 1$ $2x_2 + 3x_3 + 2x_4 = a$

1. 問題の内容

次の連立一次方程式について、解を持つように定数 $a$ の値を定め、その時の拡大係数行列の階数を求め、解を求めよ。

$x_1 + x_2 + 2x_3 + x_4 = 2$

$2x_1 + x_3 = 1$

$2x_2 + 3x_3 + 2x_4 = a$

2. 解き方の手順

(1) 拡大係数行列を作成し、行基本変形を行い、解を持つ条件を求める。

与えられた連立一次方程式の拡大係数行列は次のようになる。

$\begin{pmatrix}

1 & 1 & 2 & 1 & 2 \\

2 & 0 & 1 & 0 & 1 \\

0 & 2 & 3 & 2 & a

\end{pmatrix}$

第2行から第1行の2倍を引く。

$\begin{pmatrix}

1 & 1 & 2 & 1 & 2 \\

0 & -2 & -3 & -2 & -3 \\

0 & 2 & 3 & 2 & a

\end{pmatrix}$

第3行に第2行を加える。

$\begin{pmatrix}

1 & 1 & 2 & 1 & 2 \\

0 & -2 & -3 & -2 & -3 \\

0 & 0 & 0 & 0 & a-3

\end{pmatrix}$

解を持つためには、第3行の最後の要素が0でなければならない。

したがって、$a-3 = 0$ より $a = 3$ である。

(2) $a=3$ のときの拡大係数行列の階数を求める。

$\begin{pmatrix}

1 & 1 & 2 & 1 & 2 \\

0 & -2 & -3 & -2 & -3 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}$

この行列は、行基本変形によって、0でない行が2つあるので、階数は2である。

(3) $a=3$ のときの解を求める。

$\begin{pmatrix}

1 & 1 & 2 & 1 & 2 \\

0 & -2 & -3 & -2 & -3

\end{pmatrix}$

連立一次方程式は次のようになる。

$x_1 + x_2 + 2x_3 + x_4 = 2$

$-2x_2 - 3x_3 - 2x_4 = -3$

$x_3 = s$、$x_4 = t$ とおくと、$x_2 = \frac{3}{2} - \frac{3}{2}s - t$

$x_1 = 2 - x_2 - 2x_3 - x_4 = 2 - (\frac{3}{2} - \frac{3}{2}s - t) - 2s - t = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}s$

よって、解は

$x_1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}s$

$x_2 = \frac{3}{2} - \frac{3}{2}s - t$

$x_3 = s$

$x_4 = t$

（$s$, $t$ は任意の実数）

3. 最終的な答え

(1) $a=3$

(2) 2

(3) $x_1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}s, x_2 = \frac{3}{2} - \frac{3}{2}s - t, x_3 = s, x_4 = t$ （$s$, $t$ は任意の実数）