(1) 軸が $x = -2$ で、2点 $(0, -1)$、 $(-3, -4)$ を通る放物線をグラフにもつ2次関数を求めます。 (2) 3点 $(-1, -6)$、 $(1, -2)$、 $(3, 10)$ を通る2次関数を求めます。

1. 問題の内容

(1) 軸が $x = -2$ で、2点 $(0, -1)$、 $(-3, -4)$ を通る放物線をグラフにもつ2次関数を求めます。

(2) 3点 $(-1, -6)$、 $(1, -2)$、 $(3, 10)$ を通る2次関数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 軸が $x = -2$ であることから、2次関数は $y = a(x + 2)^2 + q$ と表せます。

2点 $(0, -1)$、 $(-3, -4)$ を通ることから、次の連立方程式が得られます。

$-1 = a(0 + 2)^2 + q$

$-4 = a(-3 + 2)^2 + q$

すなわち、

$-1 = 4a + q$

$-4 = a + q$

上の式から下の式を引くと、

$3 = 3a$

$a = 1$

これを $-4 = a + q$ に代入すると、

$-4 = 1 + q$

$q = -5$

したがって、2次関数は $y = (x + 2)^2 - 5$ となります。展開すると、

$y = x^2 + 4x + 4 - 5 = x^2 + 4x - 1$

(2) 求める2次関数を $y = ax^2 + bx + c$ とします。

3点 $(-1, -6)$、 $(1, -2)$、 $(3, 10)$ を通ることから、次の連立方程式が得られます。

$-6 = a(-1)^2 + b(-1) + c$

$-2 = a(1)^2 + b(1) + c$

$10 = a(3)^2 + b(3) + c$

すなわち、

$a - b + c = -6$ (1)

$a + b + c = -2$ (2)

$9a + 3b + c = 10$ (3)

(2) - (1) より、

$2b = 4$

$b = 2$

(3) - (2) より、

$8a + 2b = 12$

$8a + 2(2) = 12$

$8a = 8$

$a = 1$

(1) に $a = 1$、 $b = 2$ を代入すると、

$1 - 2 + c = -6$

$c = -5$

したがって、2次関数は $y = x^2 + 2x - 5$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $y = x^2 + 4x - 1$

(2) $y = x^2 + 2x - 5$