与えられた等式 $A \begin{pmatrix} 8 \\ 9 \\ 2 \end{pmatrix} = 8 \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} + 9 \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ を満たす行列 $A$ を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた等式 $A \begin{pmatrix} 8 \\ 9 \\ 2 \end{pmatrix} = 8 \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} + 9 \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ を満たす行列 $A$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、右辺のベクトルを計算します。

$8 \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} + 9 \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \cdot 3 + 9 \cdot 2 + 2 \cdot 1 \\ 8 \cdot 2 + 9 \cdot 5 + 2 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 24 + 18 + 2 \\ 16 + 45 + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 44 \\ 65 \end{pmatrix}$

したがって、等式は $A \begin{pmatrix} 8 \\ 9 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 44 \\ 65 \end{pmatrix}$ となります。

$A$を2行3列の行列 $A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \end{pmatrix}$ とすると、

$\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 8 \\ 9 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8a + 9b + 2c \\ 8d + 9e + 2f \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 44 \\ 65 \end{pmatrix}$

この式を満たす$a, b, c, d, e, f$の組は無数に存在します。例えば、$a = 1, b = 4, c = 0, d = 1, e = 7, f = 0$とすれば、

$8(1) + 9(4) + 2(0) = 8 + 36 + 0 = 44$

$8(1) + 9(7) + 2(0) = 8 + 63 + 0 = 71$

残念ながら、これは正しい組み合わせではありません。

別の例として、$a=5.5, b=0, c=0, d=8.125, e=0, f=0$とすれば、

$8(5.5) + 9(0) + 2(0) = 44 + 0 + 0 = 44$

$8(8.125) + 9(0) + 2(0) = 65 + 0 + 0 = 65$

したがって、$A = \begin{pmatrix} 5.5 & 0 & 0 \\ 8.125 & 0 & 0 \end{pmatrix}$も解の一つです。

しかし、問題をよく見ると、$A$は一つの行列に定まる必要があるようなので、何らかの特別な条件が隠されているかもしれません。ベクトルを合成しただけでは行列$A$を一意に定めることはできません。

元の画像に書かれている条件から、おそらく次のような解釈ができるでしょう。

$A = \begin{pmatrix} a & b & c \end{pmatrix}$を求める問題であり、

$A \begin{pmatrix} 8 \\ 9 \\ 2 \end{pmatrix} = 8 \begin{pmatrix} 3 \end{pmatrix} + 9 \begin{pmatrix} 2 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix} = (24 + 18 + 2) = 44$

したがって、$8a + 9b + 2c = 44$となります。しかし、この場合でも$A$は一意に定まりません。

問題文を再度確認しましたが、これ以上の情報は得られません。問題文が不完全である可能性が高いです。

ここでは、1つの解として、次の行列を提示します。

$A = \begin{pmatrix} 5.5 & 0 & 0 \\ 8.125 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

A = $\begin{pmatrix} 5.5 & 0 & 0 \\ 8.125 & 0 & 0 \end{pmatrix}$