直方体ABCD-EFGHにおいて、$AB = 3, AD = 3, AE = 4$とする。辺ABの中点をMとし、対角線AGと平面MEDとの交点をPとする。$\vec{AB} = \vec{b}, \vec{AD} = \vec{d}, \vec{AE} = \vec{e}$とするとき、以下の問いに答える。 (1) $\vec{DE}$と$\vec{DM}$をそれぞれ$\vec{b}, \vec{d}, \vec{e}$を用いて表す。 (2) $\vec{AP}$を$\vec{b}, \vec{d}, \vec{e}$を用いて表す。 (3) $|\vec{AP}|$を求める。

1. 問題の内容

直方体ABCD-EFGHにおいて、$AB = 3, AD = 3, AE = 4$とする。辺ABの中点をMとし、対角線AGと平面MEDとの交点をPとする。$\vec{AB} = \vec{b}, \vec{AD} = \vec{d}, \vec{AE} = \vec{e}$とするとき、以下の問いに答える。

(1) $\vec{DE}$と$\vec{DM}$をそれぞれ$\vec{b}, \vec{d}, \vec{e}$を用いて表す。

(2) $\vec{AP}$を$\vec{b}, \vec{d}, \vec{e}$を用いて表す。

(3) $|\vec{AP}|$を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{DE}$と$\vec{DM}$を$\vec{b}, \vec{d}, \vec{e}$を用いて表す。

$\vec{DE} = \vec{AE} - \vec{AD} = \vec{e} - \vec{d}$

$\vec{DM} = \vec{AM} - \vec{AD} = \frac{1}{2}\vec{b} - \vec{d}$

(2) $\vec{AP}$を$\vec{b}, \vec{d}, \vec{e}$を用いて表す。

点Pは直線AG上にあるので、実数$k$を用いて

$\vec{AP} = k\vec{AG}$と表せる。

$\vec{AG} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CG} = \vec{b} + \vec{d} + \vec{e}$

よって、$\vec{AP} = k(\vec{b} + \vec{d} + \vec{e})$

一方、点Pは平面MED上にあるので、実数$s, t$を用いて

$\vec{AP} = \vec{AM} + s\vec{ME} + t\vec{ED}$と表せる。

$\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{b}$

$\vec{ME} = \vec{AE} - \vec{AM} = \vec{e} - \frac{1}{2}\vec{b}$

$\vec{ED} = -\vec{DE} = -(\vec{e} - \vec{d}) = \vec{d} - \vec{e}$

$\vec{AP} = \frac{1}{2}\vec{b} + s(\vec{e} - \frac{1}{2}\vec{b}) + t(\vec{d} - \vec{e})$

$\vec{AP} = (\frac{1}{2} - \frac{s}{2})\vec{b} + t\vec{d} + (s - t)\vec{e}$

$\vec{b}, \vec{d}, \vec{e}$は一次独立なので、

$k = \frac{1}{2} - \frac{s}{2}$

$k = t$

$k = s - t$

という連立方程式が成り立つ。

$k = t$, $k = s - t$より、$s = 2k$

$k = \frac{1}{2} - \frac{s}{2}$に代入すると、

$k = \frac{1}{2} - \frac{2k}{2} = \frac{1}{2} - k$

$2k = \frac{1}{2}$

$k = \frac{1}{4}$

よって、$\vec{AP} = \frac{1}{4}(\vec{b} + \vec{d} + \vec{e})$

(3) $|\vec{AP}|$を求める。

$|\vec{AP}|^2 = \frac{1}{16}|\vec{b} + \vec{d} + \vec{e}|^2$

$|\vec{b} + \vec{d} + \vec{e}|^2 = |\vec{b}|^2 + |\vec{d}|^2 + |\vec{e}|^2 + 2(\vec{b} \cdot \vec{d} + \vec{d} \cdot \vec{e} + \vec{e} \cdot \vec{b})$

$\vec{b}, \vec{d}, \vec{e}$は互いに直交するので、内積は全て0

$|\vec{b}|^2 = 3^2 = 9$

$|\vec{d}|^2 = 3^2 = 9$

$|\vec{e}|^2 = 4^2 = 16$

$|\vec{b} + \vec{d} + \vec{e}|^2 = 9 + 9 + 16 = 34$

$|\vec{AP}|^2 = \frac{1}{16} \cdot 34 = \frac{17}{8}$

$|\vec{AP}| = \sqrt{\frac{17}{8}} = \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{8}} = \frac{\sqrt{17}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{34}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{DE} = \vec{e} - \vec{d}$, $\vec{DM} = \frac{1}{2}\vec{b} - \vec{d}$

(2) $\vec{AP} = \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{1}{4}\vec{d} + \frac{1}{4}\vec{e}$

(3) $|\vec{AP}| = \frac{\sqrt{34}}{4}$