問題は1の6乗根を複素数で表現することです。具体的には、$z^6 = 1$ を満たす複素数 $z$ を全て求めることです。 画像の例では、その解が $z_k = \cos \frac{2k\pi}{6} + i \sin \frac{2k\pi}{6}$ ($k=0, 1, 2, 3, 4, 5$) で与えられ、それぞれの $k$ の値に対して具体的な複素数が求められています。

1. 問題の内容

問題は1の6乗根を複素数で表現することです。具体的には、$z^6 = 1$ を満たす複素数 $z$ を全て求めることです。

画像の例では、その解が $z_k = \cos \frac{2k\pi}{6} + i \sin \frac{2k\pi}{6}$ ($k=0, 1, 2, 3, 4, 5$) で与えられ、それぞれの $k$ の値に対して具体的な複素数が求められています。

2. 解き方の手順

1の6乗根は、複素数平面上の単位円を6等分する点に対応します。

一般に、1の $n$ 乗根は、$z_k = \cos \frac{2k\pi}{n} + i \sin \frac{2k\pi}{n}$ ($k = 0, 1, 2, ..., n-1$) で与えられます。

この問題では $n=6$ なので、$z_k = \cos \frac{2k\pi}{6} + i \sin \frac{2k\pi}{6}$ ($k=0, 1, 2, 3, 4, 5$) となります。

それぞれの $k$ の値について、三角関数の値を計算します。

* $k = 0$: $z_0 = \cos 0 + i \sin 0 = 1 + 0i = 1$

* $k = 1$: $z_1 = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}$

* $k = 2$: $z_2 = \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}$

* $k = 3$: $z_3 = \cos \pi + i \sin \pi = -1 + 0i = -1$

* $k = 4$: $z_4 = \cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}$

* $k = 5$: $z_5 = \cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

1の6乗根は以下の6つの複素数です。

$z_0 = 1$

$z_1 = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$

$z_2 = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$

$z_3 = -1$

$z_4 = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$

$z_5 = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$