3つの直線 $x - 2y + 9 = 0$、 $3x + y - 1 = 0$、 $ax - y + 5 = 0$ が三角形を作らないとき、定数 $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

3つの直線 $x - 2y + 9 = 0$、 $3x + y - 1 = 0$、 $ax - y + 5 = 0$ が三角形を作らないとき、定数 $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

3つの直線が三角形を作らないのは、以下の3つの場合です。

1. 3つの直線が平行である場合。

2. 3つの直線が1点で交わる場合。

3. 2つの直線が平行で、残りの1つの直線がそれらと交わる場合。

まず、それぞれの直線の方程式を変形します。

* 直線1: $x - 2y + 9 = 0 \Rightarrow y = \frac{1}{2}x + \frac{9}{2}$

* 直線2: $3x + y - 1 = 0 \Rightarrow y = -3x + 1$

* 直線3: $ax - y + 5 = 0 \Rightarrow y = ax + 5$

直線1と直線2の傾きはそれぞれ $1/2$ と $-3$ であり、異なるので、直線1と直線2は平行ではありません。

(1) 直線3が直線1と平行な場合:

$a = \frac{1}{2}$

(2) 直線3が直線2と平行な場合:

$a = -3$

(3) 3つの直線が1点で交わる場合:

直線1と直線2の交点を求めます。

$\frac{1}{2}x + \frac{9}{2} = -3x + 1$

$x + 9 = -6x + 2$

$7x = -7$

$x = -1$

$y = -3(-1) + 1 = 4$

直線1と直線2の交点は $(-1, 4)$ です。

この交点を直線3が通る場合、 $a(-1) - 4 + 5 = 0$ となります。

$-a + 1 = 0$

$a = 1$

3. 最終的な答え

$a = \frac{1}{2}, -3, 1$