6つの数字 1, 1, 2, 2, 3, 3 を1列に並べる。 (1) 並べ方は全部で何通りあるか。 (2) 同じ数字が隣り合わない並べ方は何通りあるか。

1. 問題の内容

6つの数字 1, 1, 2, 2, 3, 3 を1列に並べる。

(1) 並べ方は全部で何通りあるか。

(2) 同じ数字が隣り合わない並べ方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1)

6つの数字を並べる総数は、同じものを含む順列の公式を用いて計算します。

異なる数字が3種類（1, 2, 3）あり、それぞれが2つずつあるので、総数は次のようになります。

$\frac{6!}{2!2!2!} = \frac{720}{8} = 90$

(2)

まず、1, 2, 3を1つずつ並べます。並べ方は$3! = 6$通りあります。例えば、1 2 3 という並びになったとします。次に、これらの数字の間と両端の4つの場所に、残りの1, 2, 3を挿入することを考えます。

_ 1 _ 2 _ 3 _

まず、1を挿入します。1を挿入できる場所は4箇所あります。

次に、2を挿入します。2を挿入できる場所は5箇所あります。

最後に、3を挿入します。3を挿入できる場所は6箇所あります。

したがって、1, 2, 3の並べ方が6通りあり、それぞれの並びに対して1, 2, 3を挿入する方法が$4 \times 5 \times 6$通りあると考えると、$6 \times 4 \times 5 \times 6$ となりますが、これは重複して数え上げていることになります。

包除原理を使うことを考えます。

全体の場合の数から、少なくとも1組の同じ数字が隣り合う場合の数を引きます。

次に、少なくとも2組の同じ数字が隣り合う場合の数を足します。

最後に、3組の同じ数字が隣り合う場合の数を引きます。

全体の場合の数：$\frac{6!}{2!2!2!} = 90$

少なくとも1組が隣り合う場合：

隣り合う1組をまとめて1つのものとみなす。

例：(11)2233

1組が隣り合う選び方は$C(3,1) = 3$通り。

例えば、11をひとまとめにする。

(11), 2, 2, 3, 3の並べ方は$\frac{5!}{2!2!} = 30$通り。

したがって、$3 \times 30 = 90$

少なくとも2組が隣り合う場合：

(11)(22)33

2組が隣り合う選び方は$C(3,2) = 3$通り。

例えば、11と22をひとまとめにする。

(11), (22), 3, 3の並べ方は$\frac{4!}{2!} = 12$通り。

したがって、$3 \times 12 = 36$

3組全てが隣り合う場合：

(11)(22)(33)

並べ方は$3! = 6$通り。

包除原理より、隣り合わない場合の数は、

$90 - 90 + 36 - 6 = 30$

3. 最終的な答え

(1) 90通り

(2) 30通り