6つの数字 1, 1, 2, 2, 3, 3 を1列に並べる。 (1) 相異なる並べ方は全部で何通りあるか。 (2) 同じ数字が隣り合わない並べ方は何通りあるか。

1. 問題の内容

6つの数字 1, 1, 2, 2, 3, 3 を1列に並べる。

(1) 相異なる並べ方は全部で何通りあるか。

(2) 同じ数字が隣り合わない並べ方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 同じものを含む順列の総数を求める問題です。6つの数字を並べるので、6! を計算します。ただし、1が2つ、2が2つ、3が2つあるので、それぞれ重複して数えている分を割る必要があります。

したがって、並べ方の総数は

$\frac{6!}{2!2!2!} = \frac{720}{8} = 90$ 通りです。

(2) 包除原理を用いて考えます。

まず、全体の並べ方（(1)で求めた90通り）から、「1が隣り合う」「2が隣り合う」「3が隣り合う」場合の数を引きます。

次に、「1と2が隣り合う」「1と3が隣り合う」「2と3が隣り合う」場合の数を足し戻します。

最後に、「1と2と3が隣り合う」場合の数を引きます。

* 1が隣り合う場合の数： 1を1つのものとみなして、(11), 2, 2, 3, 3 の5つを並べると考えます。この並べ方は $\frac{5!}{2!2!} = \frac{120}{4} = 30$ 通り。2と3についても同様なので、 $30 \times 3 = 90$ 通り。

* 1と2が隣り合う場合の数： (11), (22), 3, 3 の4つを並べると考えます。この並べ方は $\frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12$ 通り。1と3、2と3についても同様なので、$12 \times 3 = 36$ 通り。

* 1と2と3が隣り合う場合の数： (11), (22), (33) の3つを並べると考えます。この並べ方は $3! = 6$ 通り。

したがって、求める並べ方の数は、

$90 - 90 + 36 - 6 = 30$ 通りとなります。

3. 最終的な答え

(1) 90 通り

(2) 30 通り