$AB=AC$ の二等辺三角形 $ABC$ において、辺 $BC$ の中点を $M$ とする。このとき、$AM \perp BC$ であることを証明する。

1. 問題の内容

$AB=AC$ の二等辺三角形 $ABC$ において、辺 $BC$ の中点を $M$ とする。このとき、$AM \perp BC$ であることを証明する。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ABM$ と $\triangle ACM$ において、

仮定より、$AB = AC$。

$M$ は $BC$ の中点なので、$BM = CM$。

$AM$ は共通なので、$AM = AM$。

よって、三辺がそれぞれ等しいので、

$\triangle ABM \equiv \triangle ACM$ （三辺相等）。

(2) $\triangle ABM \equiv \triangle ACM$ より、

$\angle AMB = \angle AMC$。

(3) $\angle AMB$ と $\angle AMC$ は隣り合う角で、その和は $180^\circ$ なので、

$\angle AMB + \angle AMC = 180^\circ$

(4) (2)より、$\angle AMB = \angle AMC$ だから、

$\angle AMB + \angle AMB = 180^\circ$

$2 \angle AMB = 180^\circ$

$\angle AMB = 90^\circ$

(5) よって、$\angle AMB = \angle AMC = 90^\circ$ となり、$AM \perp BC$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$AM \perp BC$ である。