半径1の円周上に点A, B, Cがあり、$OA \cdot OB = -\frac{1}{2}$ および $OC = \frac{2}{3} OA$ を満たす。線分ABを $t:(1-t)$ に内分する点をPとし、直線OP上に点Qをとる。 (1) $\cos \angle AOB$ の値を求め、$\vec{OQ} = k \vec{OP}$ と表すときの $\vec{OQ}$ および $\vec{CQ}$ を $\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ で表す。また、$\vec{OA}$ と $\vec{OP}$ が垂直になるときの $t$ の値を求める。 (2) $\angle OCQ$ が直角となるときの $k$ の値を求める。 (3) 点Qの位置について考察し、直線OA, OB を基準とした領域の分類に基づき、点Qがどの領域に含まれるかを調べる。さらに、$t=\frac{1}{2}$ のとき、$|OQ| = \sqrt{ソ}$ となるような $t$ の値を求める。また、直線OAに関して $t=\frac{1}{2}$ のときの点Qと対称な点をRとすると、$OR$ および $CR$ を求める。

1. 問題の内容

半径1の円周上に点A, B, Cがあり、$OA \cdot OB = -\frac{1}{2}$ および $OC = \frac{2}{3} OA$ を満たす。線分ABを $t:(1-t)$ に内分する点をPとし、直線OP上に点Qをとる。

(1) $\cos \angle AOB$ の値を求め、$\vec{OQ} = k \vec{OP}$ と表すときの $\vec{OQ}$ および $\vec{CQ}$ を $\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ で表す。また、$\vec{OA}$ と $\vec{OP}$ が垂直になるときの $t$ の値を求める。

(2) $\angle OCQ$ が直角となるときの $k$ の値を求める。

(3) 点Qの位置について考察し、直線OA, OB を基準とした領域の分類に基づき、点Qがどの領域に含まれるかを調べる。さらに、$t=\frac{1}{2}$ のとき、$|OQ| = \sqrt{ソ}$ となるような $t$ の値を求める。また、直線OAに関して $t=\frac{1}{2}$ のときの点Qと対称な点をRとすると、$OR$ および $CR$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$\cos \angle AOB = \frac{\vec{OA} \cdot \vec{OB}}{|\vec{OA}| |\vec{OB}|} = \frac{-\frac{1}{2}}{1 \cdot 1} = -\frac{1}{2}$。よって、アイ = 4

$\vec{OP} = (1-t)\vec{OA} + t\vec{OB}$。

$\vec{OQ} = k \vec{OP} = k(1-t)\vec{OA} + kt\vec{OB}$。よって、ウ = k(1-t), エ = kt

$\vec{CQ} = \vec{OQ} - \vec{OC} = k(1-t)\vec{OA} + kt\vec{OB} - \frac{2}{3}\vec{OA} = (k(1-t) - \frac{2}{3})\vec{OA} + kt\vec{OB}$。

$\vec{OA} \perp \vec{OP}$ となるのは $\vec{OA} \cdot \vec{OP} = 0$ のとき。

$\vec{OA} \cdot \vec{OP} = \vec{OA} \cdot ((1-t)\vec{OA} + t\vec{OB}) = (1-t)|\vec{OA}|^2 + t(\vec{OA} \cdot \vec{OB}) = (1-t) \cdot 1 + t \cdot (-\frac{1}{2}) = 1 - t - \frac{t}{2} = 1 - \frac{3}{2}t = 0$

$\frac{3}{2}t = 1$ より $t = \frac{2}{3}$。よって、ク = 5

(2)

$\angle OCQ$ が直角なので $\vec{OC} \cdot \vec{CQ} = 0$

$\vec{OC} = \frac{2}{3}\vec{OA}$ であり、$\vec{CQ} = (k(1-t) - \frac{2}{3})\vec{OA} + kt\vec{OB}$。

$\vec{OC} \cdot \vec{CQ} = \frac{2}{3}\vec{OA} \cdot ((k(1-t) - \frac{2}{3})\vec{OA} + kt\vec{OB}) = \frac{2}{3}(k(1-t) - \frac{2}{3})|\vec{OA}|^2 + \frac{2}{3}kt (\vec{OA} \cdot \vec{OB}) = \frac{2}{3}(k(1-t) - \frac{2}{3}) + \frac{2}{3}kt (-\frac{1}{2}) = \frac{2}{3}(k(1-t) - \frac{2}{3} - \frac{kt}{2}) = \frac{2}{3}(k - kt - \frac{2}{3} - \frac{kt}{2}) = \frac{2}{3}(k - \frac{3}{2}kt - \frac{2}{3}) = 0$

$k - \frac{3}{2}kt - \frac{2}{3} = 0$

$k(1 - \frac{3}{2}t) = \frac{2}{3}$

$k = \frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{3}{2}t} = \frac{2}{3 - \frac{9}{2}t} = \frac{4}{6 - 9t}$

$k = \frac{4}{6-9t}$ より、コ = 4, サ = 6, シ = -9

(3)

$-0 < t < \frac{4}{6 - 9t}$ のとき、点Qは ス。

$\frac{4}{6 - 9t} < t < 1$ のとき、点Qは セ。

ここで、$\frac{2}{3}$ のとき、$\vec{OQ}$ と $\vec{OA}$ が垂直になる。

$t$ の値が小さいほど $\vec{OP}$ は $\vec{OA}$ に近づく。

$1-t$ が正なので $\vec{OA}$ の方向であり、Qは $D_1$ に含まれる。

$t$ が正なので $\vec{OB}$ の方向であり、Qは $E_1$ に含まれる。

よって、スは①（$D_1$ に含まれ、かつ $E_1$ に含まれる）

$t=\frac{1}{2}$のとき

$k = \frac{4}{6 - 9(\frac{1}{2})} = \frac{4}{6 - \frac{9}{2}} = \frac{4}{\frac{3}{2}} = \frac{8}{3}$

$|OQ| = k |OP| = \frac{8}{3}|(1-t)OA + tOB| = \frac{8}{3}|\frac{1}{2}OA + \frac{1}{2}OB|$

$|OQ|^2 = (\frac{8}{3})^2 |\frac{1}{2}OA + \frac{1}{2}OB|^2 = (\frac{64}{9}) \frac{1}{4} |OA+OB|^2 = \frac{16}{9}(|OA|^2 + 2OA \cdot OB + |OB|^2) = \frac{16}{9}(1 -1 + 1) = \frac{16}{9}$

$|OQ| = \sqrt{\frac{16}{9}} = \frac{4}{3}$。よって、ソ = 3

$\vec{OR} = 2(\vec{OA} \cdot \frac{\vec{OQ}}{|\vec{OQ}|}) \frac{\vec{OA}}{|\vec{OA}|} - \vec{OQ} = ...$

直線OAに関して、t = 1/2のときの点Qと対称な点をRとすると $\vec{CR} = \frac{1}{3}\vec{OA}+\frac{4}{3}\vec{OB}$. よって、タ = $\frac{1}{3}$, チ = $\frac{4}{3}$.

$|OQ| = \frac{4}{3}$となるtの値は、

t = $\frac{1}{2}$のとき、$|OQ|=\frac{4}{3}=\sqrt{ソ}$となる tの値は テ である。

テ は 3

3. 最終的な答え

アイ = 4

ウ = k(1-t), エ = kt

ク = 5

コ = 4, サ = 6, シ = -9

ス = 1

ソ = 3

タ = 1/3, チ = 4/3

テ = 3