問題5: $\triangle ABC$ において $AB = 4$, $\angle A = 75^\circ$, $\angle B = 60^\circ$ のとき、$CA$ の長さを求め、さらに外接円の半径 $R$ を求めよ。 問題6: $\triangle ABC$ において、$AB = 3$, $BC = \sqrt{7}$, $CA = 2$ のとき、$\angle A$ の大きさを求めよ。

1. 問題の内容

問題5: $\triangle ABC$ において $AB = 4$, $\angle A = 75^\circ$, $\angle B = 60^\circ$ のとき、$CA$ の長さを求め、さらに外接円の半径 $R$ を求めよ。

問題6: $\triangle ABC$ において、$AB = 3$, $BC = \sqrt{7}$, $CA = 2$ のとき、$\angle A$ の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

問題5:

まず、$\angle C$ の大きさを求める。三角形の内角の和は $180^\circ$ であるから、

$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 75^\circ - 60^\circ = 45^\circ$.

正弦定理より、

$\frac{AB}{\sin C} = \frac{CA}{\sin B}$

$\frac{4}{\sin 45^\circ} = \frac{CA}{\sin 60^\circ}$.

したがって、

$CA = \frac{4 \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{6}$.

また、正弦定理より、

$\frac{AB}{\sin C} = 2R$.

$\frac{4}{\sin 45^\circ} = 2R$.

したがって、

$2R = \frac{4}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = 4\sqrt{2}$.

$R = 2\sqrt{2}$.

問題6:

余弦定理より、

$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2 \cdot AB \cdot CA \cdot \cos A$.

$(\sqrt{7})^2 = 3^2 + 2^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \cos A$.

$7 = 9 + 4 - 12 \cos A$.

$7 = 13 - 12 \cos A$.

$12 \cos A = 13 - 7 = 6$.

$\cos A = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.

したがって、$A = 60^\circ$.

3. 最終的な答え

問題5:

$CA = 2\sqrt{6}$.

$R = 2\sqrt{2}$.

問題6:

$A = 60^\circ$.