三角形ABCにおいて、$AB = 4$, $BC = 5$, $CA = 6$である。$\angle BAC$の二等分線と辺BCとの交点をD, $\angle BAC$の外角の二等分線と辺BCの延長との交点をEとする。このとき、$BE$と$DE$の長さを求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB = 4$, $BC = 5$, $CA = 6$である。$\angle BAC$の二等分線と辺BCとの交点をD, $\angle BAC$の外角の二等分線と辺BCの延長との交点をEとする。このとき、$BE$と$DE$の長さを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、角の二等分線の性質を利用して、$BD$の長さを求めます。角の二等分線の性質より、

$BD:DC = AB:AC$

$BD:DC = 4:6 = 2:3$

$BD = \frac{2}{2+3}BC = \frac{2}{5} \times 5 = 2$

次に、$\angle BAC$の外角の二等分線と辺BCの延長との交点Eについて、外角の二等分線の性質を利用します。

$BE:CE = AB:AC$

$BE:CE = 4:6 = 2:3$

ここで、$CE = BE - BC = BE - 5$なので、

$BE:(BE - 5) = 2:3$

$3BE = 2(BE - 5)$

$3BE = 2BE - 10$

$BE = 10$

次に、$DE$の長さを求めます。

$DE = BE - BD$

$DE = 10 - 2 = 8$

3. 最終的な答え

$BE = 10$

$DE = 8$