半径 $r$ mの円形の池の周囲に、幅4 mの道があります。この道の面積を $S$ m$^2$、道の中央を通る円周の長さを $l$ mとするとき、$S = 4l$ であることを証明してください。

1. 問題の内容

半径 $r$ mの円形の池の周囲に、幅4 mの道があります。この道の面積を $S$ m$^2$、道の中央を通る円周の長さを $l$ mとするとき、$S = 4l$ であることを証明してください。

2. 解き方の手順

道の面積$S$は、外側の円の面積から池の面積を引いたものです。

外側の円の半径は、$r + 4$ mなので、その面積は $\pi (r+4)^2$ m$^2$です。

池の面積は、$\pi r^2$ m$^2$です。

したがって、道の面積$S$は、

$S = \pi (r+4)^2 - \pi r^2$

$S = \pi (r^2 + 8r + 16) - \pi r^2$

$S = \pi r^2 + 8\pi r + 16\pi - \pi r^2$

$S = 8\pi r + 16\pi$

$S = (8r + 16)\pi$

次に、道の中央を通る円周の長さ $l$ を計算します。道の中央を通る円の半径は $r + 2$ mなので、

$l = 2\pi (r + 2)$

$l = 2\pi r + 4\pi$

ここで、$S = 4l$ が成り立つことを証明します。

$4l = 4(2\pi r + 4\pi)$

$4l = 8\pi r + 16\pi$

$S = 8\pi r + 16\pi$ と $4l = 8\pi r + 16\pi$ は等しいので、$S = 4l$ が証明されました。

3. 最終的な答え

$S = 4l$ が証明されました。